Derivada de la derivada

Artículo 12 de 20 en la serie Funciones reales

La operación de derivación efectuada a una función f(x) puede realizarse también al resultado de ésta, es decir, podemos calcular la derivada de la derivada de f(x) y en ese caso obtenemos la segunda derivada de f(x). Si repetimos el proceso al nuevo resultado, obtendríamos la tercera derivada, y así sucesivamente obteniendo las sucesivas derivadas de la función f(x).

Esquemáticamente tenemos:

Esquema de las sucesivas derivadas de una función

Mediante notación de incrementos diferenciales, la derivada de la derivada y sucesivas se escriben así:

Notación de la derivada de la derivada ; Notación de la tercera derivada ;…; Notación de la derivada enésima

Vamos a ver ahora qué relación existe entre las sucesivas derivadas de una función y las conclusiones que se pueden extraer del comportamiento de la misma.

Veamos los siguientes gráficos:

Gráficos del crecimiento de la función

Si observamos las funciones en su paso por el punto x0 tenemos que:

  • Las gráficas (a) y (b) tienen un comportamiento creciente.
  • Las gráficas (c) y (d) tienen un comportamiento decreciente.

¿Qué relación existe entre los comportamientos observados y lo que conocemos de la derivada de la función? Veamos los mismos gráficos añadiendo la recta tangente en el punto x0.

Gráficos del crecimiento de la función y la tangente

Se observa que:

  • Las gráficas (a) y (b) presentan rectas tangentes de pendiente positiva, f ´(x0) > 0.
  • Las gráficas (c) y (d) presentan rectas tangentes de pendiente negativa, f ´(x0) < 0.

Podemos concluir pues que:

Dada una función f:R→R, si existe su derivada en el punto x0 tenemos que:

Si f ´(x0) > 0f(x) es creciente en x0

Si f ´(x0) < 0f(x) es decreciente en x0

Si ahora nos fijamos en el tipo de curvatura de las funciones en el punto x0 tenemos que:

  • Las gráficas (a) y (c) tienen una curvatura que llamamos cóncava.
  • Las gráficas (b) y (d) tienen una curvatura que llamamos convexa.

¿Qué relación existe entre las curvaturas observadas y lo que conocemos de la derivada de la función? Si observamos la evolución de las pendientes de las rectas tangentes a f(x) en su paso por el punto x0 en los gráficos (a) y (c), vemos que la evolución es creciente. Esto es, la inclinación de las rectas va de menos a más. En cambio, en los gráficos (b) y (d), es decreciente, va de más a menos. Como dichas pendientes vienen dadas por f ´(x), su comportamiento creciente o decreciente viene determinado por la derivada de f ´(x), es decir, la derivada de la derivada de f(x), que resulta f ´´(x).

Podemos concluir pues que:

Dada una función f:R→R, si existe su derivada y su segunda derivada en el punto x0 tenemos que:

Si f ´´(x0) > 0f(x) es cóncava en x0

Si f ´´(x0) < 0f(x) es convexa en x0

¿Qué sucede en aquellos puntos donde f ´(x0) = 0 o f ´´(x0) = 0?

En dichos puntos no tendremos:

  • Ni puntos de crecimiento o decrecimiento si es f ´(x) la que se anula.
  • Ni puntos de concavidad o convexidad si es f ´´(x) la que se anula.

Comencemos por estudiar la segunda situación.

En aquellos puntos donde se anula f ´´(x) decimos que son puntos donde se produce un cambio de curvatura. La función pasa de ser cóncava a ser convexa, o viceversa. A estos puntos los llamamos puntos de inflexión.

A los puntos donde se anula f ´´(x) les llamamos puntos críticos. Pero en ellos no necesariamente tiene porqué producirse un cambio de crecimiento de la función. Se pueden dar 3 situaciones. Veámoslas gráficamente.

Gráficos de los diferentes puntos críticos de una función

Si observamos las funciones en su paso por el punto x0 tenemos que:

  • Las tres gráficas tienen una recta tangente horizontal, con lo que su pendiente es 0, es decir, se confirma que son puntos críticos puesto que f ´(x0) = 0.
  • Las gráficas (a) y (b) muestran un cambio del comportamiento en cuanto al crecimiento y decrecimiento de la función. En estos casos el punto crítico es un extremo relativo o extremo local. En concreto:
    • La gráfica (a) muestra un cambio de función creciente a decreciente, en este caso decimos que en x0 tenemos un máximo relativo o máximo local.
    • La gráfica (b) muestra un cambio de función decreciente a creciente, en este caso decimos que en x0 tenemos un mínimo relativo o mínimo local.
  • La gráfica (c) no muestra cambio alguno del comportamiento en cuanto al crecimiento y decrecimiento de la función. Pero sí observamos un cambio de tipo de curvatura. Estamos ante un punto crítico que a su vez es un punto de inflexión.

En este último caso conviene no confundir esta conclusión con la idea de que todos los puntos de inflexión son puntos críticos. Efectivamente hemos visto que para ser punto de inflexión debe cumplirse que la derivada de la derivada en el punto x0 debe ser 0, f ´´(x0) = 0, y en este caso se cumple. Pero para un punto de inflexión, puede cumplirse o no que además f ´(x0) = 0.

¿Cómo podemos diagnosticar ante qué tipo de punto estamos si en común se cumple que f ´(x0) = 0? De nuevo, si observamos la evolución de las pendientes de las rectas, el signo de la derivada de f ´(x) en x0, es decir el signo de f ´´(x0) = 0, nos dará la opción de distinguir el tipo de punto. Efectivamente, cumpliéndose en un punto x0 que f ´(x0) = 0:

  • Si se cumple que f ´´(x0) < 0 estamos ante un máximo relativo o máximo local en x0.
  • Si se cumple que f ´´(x0) > 0 estamos ante un mínimo relativo o mínimo local en x0.
  • Si se cumple que f ´´(x0) = 0 y f ´´´(x0) ≠ 0 estamos ante un punto de inflexión en x0.

Fijémonos que para diagnosticar un punto de inflexión se ha añadido la condición f ´´´(x0) ≠ 0, es decir, ¿qué sucedería si se cumpliera f ´´´(x0) = 0? En ese caso a la tercera derivada se le aplica el mismo criterio que a f ´(x0) y evaluaríamos la cuarta derivada aplicándole el criterio de f ´´(x0), y así sucesivamente hasta resolver de qué punto se trata.

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