Significado geométrico de la derivada de una función

Artículo 11 de 20 en la serie Funciones reales

Sabemos qué representa conceptualmente la derivada de una función en un punto y cómo calcularla. La pregunta que nos hacemos ahora es: ¿tiene el cálculo de la derivada de una función algún significado geométrico respecto a la propia función? La respuesta es que sí. Veamos cuál.

Nos planteamos trazar la recta secante a una función en dos puntos de la misma (x0,y0) y (x1,y1). Gráficamente tenemos:

Gráfica de la recta secante a una función

Si para obtener la ecuación de la recta s utilizamos la forma punto-pendiente de una recta. Es decir:

y – y0 = m.(x – x0)

Donde:

  • (x0,y0): son las coordenadas cartesianas de un punto de la recta. Que en nuestro caso es uno de los de la función.
  • m es la inclinación o pendiente de la recta. Podemos calcularla como:
    Fórmula de la pendiente de una recta en dos puntos

Con estos datos ya somos capaces de obtener la ecuación analítica de dicha recta.

Ahora bien, si nos planteamos acercar el punto (x1,y1) al punto (x0,y0), la recta secante s se convertirá en el límite en la recta r tangente a la función f(x) en el punto (x0,y0). Gráficamente tendríamos:

Gráfica de la tendencia de la recta secante a la recta tangente

Para obtener la ecuación de la recta r utilizaremos de nuevo la ecuación punto-pendiente de una recta. En este caso, el punto por donde pasa la recta buscada es el mismo (x0,y0). Pero la pregunta surge cuando buscamos la pendiente m, ¿cómo la calcularíamos ahora? Tengamos en cuenta que el punto (x1,y1) se ha acercado al punto (x0,y0) de forma que en realidad son el mismo, con lo que el cálculo efectuado para obtener la pendiente de s no podemos realizarlo.

Lo que hacemos para evaluar la pendiente es considerar que el punto (x1,y1) no es todavía el (x0,y0) y en realidad es uno muy próximo haciendo x1 = x0 + h donde h tienda a 0, es decir, (x1,y1) = (x0 + h,f(x0 + h)) donde el parámetro h marca la separación entre x0 y x1. En este caso, la pendiente aproximada para la recta r es:

Fórmula de la pendiente aproximada de la recta tangente a la función

Para evaluar la pendiente exacta de r, podemos resolver el límite de la expresión anterior cuando h tiende a 0, y tendremos:

Fórmula de la pendiente exacta de la recta tangente a la función

Si observamos bien lo obtenido como pendiente de r vemos que ha resultado ser la derivada de f(x) en el punto x0, que es el punto donde la recta es tangente a la función. Esto es:

Fórmula de la pendiente de la recta tangente a la función como derivada

Por lo tanto, como conclusión del significado geométrico de la derivada de una función tenemos:

Dada una función f:R→R su derivada en el punto x0 nos proporciona la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.
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