Veamos primero en qué consiste un determinante.
O sea, dada una matriz:
Denotaremos su determinante de cualquiera de las 3 siguientes formas:
Pero he dicho que el determinante es un número asociado a la matriz, veamos ahora cómo se calcula el determinante para diferentes dimensiones de matrices.
#1-Matriz 2×2
La fórmula de cálculo de un determinante 2×2 es:
Es decir, multiplicamos los elementos de la diagonal principal y restamos la multiplicación de los de la diagonal secundaria.
#2-Matriz 3×3
La fórmula de cálculo de un determinante 3×3 es:
La fórmula para el determinante de matrices 2×2 es fácil de recordar, en cambio para determinantes 3×3 ya no lo es tanto y por eso se recurren a ciertas reglas mnemotécnicas que faciliten el desarrollo de la fórmula. Veamos dos: regla de Sarrus y ampliación de la matriz.
Regla de Sarrus
Observemos el siguiente esquema en el que cada círculo representa un elemento del determinante:
Ampliación de la matriz
Observemos el siguiente esquema en el que se copian la primera y segunda fila debajo de la tercera:
#3-Matrices de orden superior
Para matrices 4×4, 5×5, y superiores, usaremos la técnica del desarrollo por fila o columna. Este procedimiento consiste en que, por ejemplo, para calcular un determinante de 4×4 calcularemos 4 determinantes de 3×3, para uno de 5×5 calcularemos 5 de 4×4, y así sucesivamente. Veamos la fórmula general del procedimiento y después un ejemplo.
Desarrollo por fila i-ésima
Para calcular el determinante elegimos una fila cualquiera, por ejemplo la fila i-ésima, y aplicamos la siguiente fórmula:
Donde αik representa el determinante resultante de eliminar la fila i-ésima y la columna k-ésima de la matriz.
Desarrollo por columna j-ésima
Para calcular el determinante elegimos una columna cualquiera, por ejemplo la columna j-ésima, y aplicamos la siguiente fórmula:
Donde αkj representa el determinante resultante de eliminar la fila k-ésima y la columna j-ésima de la matriz.
Ejemplo: Veamos cómo calcular este determinante de 4×4 desarrollándolo por la primera fila.
El resultado final se obtendrá calculando los 4 determinantes de 3×3 aplicando cualquiera de sus reglas, y operando el desarrollo obtenido.
Si desarrollamos por la primera columna:
Si calculamos un determinante de una matriz triangular inferior se llega al mismo resultado desarrollando por la primera fila.
La técnica de desarrollo de un determinante por fila o por columna nos permite calcular un determinante de cualquier orden. No obstante, la técnica es realmente útil si podemos transformar la matriz inicial en una matriz triangular. Para ello disponemos de una serie de propiedades que cumplen los determinantes.
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