Artículo 1 de 1 en la serie Determinantes

Veamos primero en qué consiste un determinante.

Un determinante es una aplicación que a cada matriz cuadrada le asigna un valor numérico.

O sea, dada una matriz:

Cómo se calcula un determinante

Denotaremos su determinante de cualquiera de las 3 siguientes formas:

Cómo se calcula un determinante

Pero he dicho que el determinante es un número asociado a la matriz, veamos ahora cómo se calcula el determinante para diferentes dimensiones de matrices.

#1-Matriz 2×2

La fórmula de cálculo de un determinante 2×2 es:

Cómo se calcula un determinante

Es decir, multiplicamos los elementos de la diagonal principal y restamos la multiplicación de los de la diagonal secundaria.

#2-Matriz 3×3

La fórmula de cálculo de un determinante 3×3 es:

Cómo se calcula un determinante

La fórmula para el determinante de matrices 2×2 es fácil de recordar, en cambio para determinantes 3×3 ya no lo es tanto y por eso se recurren a ciertas reglas mnemotécnicas que faciliten el desarrollo de la fórmula. Veamos dos: regla de Sarrus y ampliación de la matriz.

Regla de Sarrus

Observemos el siguiente esquema en el que cada círculo representa un elemento del determinante:

Determinante 3x3 por Sarrus

Para generar la fórmula se suman los productos de los 3 elementos indicados con las líneas en color azul, y restamos los productos de los 3 elementos indicados con las líneas de color rojo.

Ampliación de la matriz

Observemos el siguiente esquema en el que se copian la primera y segunda fila debajo de la tercera:

Determinante 3x3 por ampliación de matriz

Se suman los productos de los elementos de la diagonal principal y los de sus 2 paralelas inmediatamente inferiores. Y se restan los productos de los elementos de la diagonal secundaria y los de sus 2 paralelas inmediatamente inferiores.

#3-Matrices de orden superior

Para matrices 4×4, 5×5, y superiores, usaremos la técnica del desarrollo por fila o columna. Este procedimiento consiste en que, por ejemplo, para calcular un determinante de 4×4 calcularemos 4 determinantes de 3×3, para uno de 5×5 calcularemos 5 de 4×4, y así sucesivamente. Veamos la fórmula general del procedimiento y después un ejemplo.

Desarrollo por fila i-ésima

Para calcular el determinante elegimos una fila cualquiera, por ejemplo la fila i-ésima, y aplicamos la siguiente fórmula:

Desarrollo de determinante por fila i-ésima

Donde αik representa el determinante resultante de eliminar la fila i-ésima y la columna k-ésima de la matriz.

Desarrollo por columna j-ésima

Para calcular el determinante elegimos una columna cualquiera, por ejemplo la columna j-ésima, y aplicamos la siguiente fórmula:

Desarrollo de determinante por columna j-ésima

Donde αkj representa el determinante resultante de eliminar la fila k-ésima y la columna j-ésima de la matriz.

Ejemplo: Veamos cómo calcular este determinante de 4×4 desarrollándolo por la primera fila.

Cómo se calcula un determinante

El resultado final se obtendrá calculando los 4 determinantes de 3×3 aplicando cualquiera de sus reglas, y operando el desarrollo obtenido.

Como caso especial fijémonos que si desarrollamos un determinante de una matriz triangular, por ejemplo superior, o una matriz diagonal, el resultado es el producto de los elementos de la diagonal principal.

Si desarrollamos por la primera columna:

Cómo se calcula un determinante

Si calculamos un determinante de una matriz triangular inferior se llega al mismo resultado desarrollando por la primera fila.

La técnica de desarrollo de un determinante por fila o por columna nos permite calcular un determinante de cualquier orden. No obstante, la técnica es realmente útil si podemos transformar la matriz inicial en una matriz triangular. Para ello disponemos de una serie de propiedades que cumplen los determinantes.

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