En ejemplo 8 y ejemplo 9 hemos podido apreciar dos casos de cálculo de límites donde se pone de manifiesto a su vez el concepto de continuidad y discontinuidad de una función en un punto. Efectivamente, si revisamos cada uno de los casos tenemos que:
- En ejemplo 8 hemos visto que valor de la función y límite han coincidido en el punto x = 0. A su vez, se aprecia gráficamente que la función no se rompe en dicho punto. Podemos asimilar tanto el resultado analítico como el gráfico a la idea de función continua en el punto x = 0.
- En cambio, en el ejemplo 9 vemos que valor de la función y límite en x = 0 no coinciden. De hecho el límite no existe al ser diferentes los límites laterales. Gráficamente la función tiene una ruptura en dicho punto. De este resultado podemos asimilar la idea de función discontinua en el punto x = 0.
Como definición formal de función continua en un punto tenemos:
Diremos que una función f:R→R es continua en un punto x0 si el límite de la función en el punto, 
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