A la hora de calcular el límite de una función no haremos uso de la definición anterior. ¿Cómo se procede entonces? Para calcular el límite en general seguiremos el siguiente protocolo:
- Si la función se define mediante una única expresión, evaluaremos la función en x0, tal y como se ha procedido en el ejemplo 8.
- Si la función está definida a trozos y x0 es uno de los extremos de los intervalos, evaluaremos la función en las expresiones que definen a f(x) a izquierda y derecha de x0, tal y como se ha procedido en el ejemplo 9.
Según lo descrito en el protocolo anterior, no parece existir ninguna diferencia entre el cálculo de un límite y la evaluación de la función en el punto. De hecho los ejemplos mostrados así lo indican. No obstante, lo cierto es que a la hora de calcular límites nos encontraremos con casos en los que al evaluar la función:
- O el punto x0 no pertenece al dominio de la función, Dom f.
- O el punto x0 genera una indeterminación en la evaluación de f(x).
Cuando estemos ante alguno de estos casos, el cálculo del límite deberá realizarse mediante procedimientos analíticos que describiremos.
Para empezar vamos a recordar la lista de indeterminaciones de límites ante las que no podremos aventurar el resultado.
- Indeterminación cero entre cero:
- Indeterminación infinito entre infinito:
- Indeterminación cero por infinito:
- Indeterminación infinito menos infinito:
- Indeterminación uno elevado a infinito:
- Indeterminación cero elevado a cero:
- Indeterminación infinito elevado a cero:
Ante cualquiera de las anteriores expresiones, ¿qué herramientas usaremos para el cálculo del límite?
Disponemos de las siguientes:
- Equivalencias infinitésimas: f(x)→0 cuando x→x0
- Equivalencia infinitésima de seno:
- Equivalencia infinitésima de coseno:
- Equivalencia infinitésima de tangente:
- Equivalencia infinitésima de arcoseno:
- Equivalencia infinitésima de arcotangente:
- Equivalencia infinitésima de logaritmo de uno más función:
- Equivalencia infinitésima de seno:
- Otras equivalencias de funciones:
- Equivalencia de logaritmo de una función: Si f(x)→1,
- Equivalencia de polinomio en infinito: Si x→∞,
- Equivalencia de logaritmo de polinomio en infinito: Si x→∞,
- Equivalencia de logaritmo de una función: Si f(x)→1,
- Regla de L’Hôpital. Esta regla implica trabajar con la derivación, con lo cual se detallará más adelante.
Veamos algunos ejemplos:
Si procedemos a evaluar la expresión en el límite de la variable x, nos encontramos ante una expresión indeterminada del tipo . Usando las equivalencias infinitésimas de seno y tangente:
Si procedemos a evaluar la expresión en el límite de la variable x, nos encontramos ante una expresión indeterminada del tipo 1∞. Usando la fórmula para las indeterminaciones exponenciales que vimos en el tema de sucesiones, y alguna de las equivalencias:
donde
Para resolver L usaremos la equivalencia adecuada:
Hemos utilizado los conocimientos de indeterminaciones del tipo con cocientes de polinomios. Por lo tanto finalmente tenemos:
Si procedemos a evaluar la expresión en el límite de la variable x, nos encontramos ante una expresión indeterminada del tipo 00. Usando la fórmula para las indeterminaciones exponenciales que vimos en el tema de sucesiones, y alguna de las equivalencias:
donde
Para resolver L usaremos el desarrollo del logaritmo de un cociente:
Hemos utilizado los conocimientos de indeterminaciones del tipo con cocientes entre funciones y su «jerarquía» de infinitos. Por lo tanto finalmente tenemos:
No obstante, se debe hacer hincapié en que para el cálculo de límites dispondremos también de la regla de L’Hôpital, que usaremos en la gran mayoría de casos debido a su capacidad resolutiva.
no entiendo el problema 12 sobre el Ln
Hola Bryan. ¿Puedes detallarme exactamente tu duda sobre el problema 12 sobre el Ln? Estaré encantado de respondértela.
Saludos
lim x=0 tan7x sobre sen2x quisiera la explicacion de como resolver este ejercicio
Hola Nidia. Gracias por tu consulta.
En el ejemplo 10 de este artículo tienes un caso que puede servirte para entender cómo resolver el ejercicio que propones. Si te das cuenta, tanto tan(7x) como sen(2x) son equivalencias infinitésimas cuando x tiende a 0. Si sustituyes ambas por su argumento, el cociente tan(7x)/sen(2x) te quedaría (7x)/(2x), y al eliminar las «x» por simplificación ya tienes resuelto el límite, resultando 7/2.
Otra opción para resolverlo que tienes es mediante la regla de l’Hôpital.
Saludos