Artículo 5 de 21 en la serie Funciones reales

A la hora de calcular el límite de una función no haremos uso de la definición anterior. ¿Cómo se procede entonces? Para calcular el límite Notación de límite de una función en general seguiremos el siguiente protocolo:

  1. Si la función se define mediante una única expresión, evaluaremos la función en x0, tal y como se ha procedido en el ejemplo 8.
  2. Si la función está definida a trozos y x0 es uno de los extremos de los intervalos, evaluaremos la función en las expresiones que definen a f(x) a izquierda y derecha de x0, tal y como se ha procedido en el ejemplo 9.

Según lo descrito en el protocolo anterior, no parece existir ninguna diferencia entre el cálculo de un límite y la evaluación de la función en el punto. De hecho los ejemplos mostrados así lo indican. No obstante, lo cierto es que a la hora de calcular límites nos encontraremos con casos en los que al evaluar la función:

  1. O el punto x0 no pertenece al dominio de la función, Dom f.
  2. O el punto x0 genera una indeterminación en la evaluación de f(x).

Cuando estemos ante alguno de estos casos, el cálculo del límite deberá realizarse mediante procedimientos analíticos que describiremos.

Para empezar vamos a recordar la lista de indeterminaciones de límites ante las que no podremos aventurar el resultado.

  1. Indeterminación cero entre ceroIndeterminación cero entre cero
  2. Indeterminación infinito entre infinitoIndeterminación infinito entre infinito
  3. Indeterminación cero por infinitoIndeterminación cero por infinito
  4. Indeterminación infinito menos infinitoIndeterminación infinito menos infinito
  5. Indeterminación uno elevado a infinitoIndeterminación uno elevado a infinito
  6. Indeterminación cero elevado a ceroIndeterminación cero elevado a cero
  7. Indeterminación infinito elevado a ceroIndeterminación infinito elevado a cero

Ante cualquiera de las anteriores expresiones, ¿qué herramientas usaremos para el cálculo del límite?

Disponemos de las siguientes:

  1. Equivalencias infinitésimas: f(x)→0 cuando x→x0
    1. Equivalencia infinitésima de senoEquivalencia infinitésima de seno
    2. Equivalencia infinitésima de cosenoEquivalencia infinitésima de coseno
    3. Equivalencia infinitésima de tangenteEquivalencia infinitésima de tangente
    4. Equivalencia infinitésima de arcosenoEquivalencia infinitésima de arcoseno
    5. Equivalencia infinitésima de arcotangenteEquivalencia infinitésima de arcotangente
    6. Equivalencia infinitésima de logaritmo de uno más funciónEquivalencia infinitésima de logaritmo de uno más función
  2. Otras equivalencias de funciones:
    1. Equivalencia de logaritmo de una función: Si f(x)→1Equivalencia de logaritmo de función
    2. Equivalencia de polinomio en infinito: Si x→∞Equivalencia de polinomio en infinito
    3. Equivalencia de logaritmo de polinomio en infinito: Si x→∞Equivalencia de logaritmo de polinomio en infinito
  3. Regla de L’Hôpital. Esta regla implica trabajar con la derivación, con lo cual se detallará más adelante.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 10: Límite a resolver de ejemplo 10

Si procedemos a evaluar la expresión en el límite de la variable x, nos encontramos ante una expresión indeterminada del tipo Indeterminación cero entre cero. Usando las equivalencias infinitésimas de seno y tangente:

Solución del límite de ejemplo 10

Ejemplo 11: Límite a resolver de ejemplo 11

Si procedemos a evaluar la expresión en el límite de la variable x, nos encontramos ante una expresión indeterminada del tipo 1. Usando la fórmula para las indeterminaciones exponenciales que vimos en el tema de sucesiones, y alguna de las equivalencias:

Paso 1 de la solución del límite de ejemplo 11 donde Paso 2 de la solución del límite de ejemplo 11

Para resolver L usaremos la equivalencia adecuada:

Paso 3 de la solución del límite de ejemplo 11

Hemos utilizado los conocimientos de indeterminaciones del tipo Indeterminación infinito entre infinito con cocientes de polinomios. Por lo tanto finalmente tenemos:

Paso 4 de la solución del límite de ejemplo 11

Ejemplo 12: Límite a resolver de ejemplo 12

Si procedemos a evaluar la expresión en el límite de la variable x, nos encontramos ante una expresión indeterminada del tipo 00. Usando la fórmula para las indeterminaciones exponenciales que vimos en el tema de sucesiones, y alguna de las equivalencias:

Paso 1 de la solución del límite de ejemplo 12 donde Paso 2 de la solución del límite de ejemplo 12

Para resolver L usaremos el desarrollo del logaritmo de un cociente:

Paso 3 de la solución del límite de ejemplo 12

Hemos utilizado los conocimientos de indeterminaciones del tipo Indeterminación infinito entre infinito con cocientes entre funciones y su “jerarquía” de infinitos. Por lo tanto finalmente tenemos:

Paso 4 de la solución del límite de ejemplo 12

No obstante, se debe hacer hincapié en que para el cálculo de límites dispondremos también de la regla de L’Hôpital, que usaremos en la gran mayoría de casos debido a su capacidad resolutiva.

<< Límite de una funciónContinuidad de una función >>

Curso Online de Matemáticas de 1º de Bachillerato

Prepara o repasa la asignatura desde tu casa, la playa o la montaña.

You have Successfully Subscribed!

Pin It on Pinterest

Shares
Share This