Artículo 4 de 21 en la serie Funciones reales

Concepto y definición

Con los conceptos de dominio y recorrido de una función hemos sido capaces de respondernos a la pregunta:

¿Qué valor adopta la función f(x) cuando x vale x0?

El concepto de límite de una función en un punto nos dará respuesta a la pregunta:

¿A qué valor se acerca la función f(x) cuando x se acerca al valor x0?

La notación del cálculo de un límite es: Notación de límite de una función

Para que exista la posibilidad de calcular el límite debemos tener presente varias cosas:

  1. El valor x0 no tiene porqué pertenecer al dominio de f(x), pero los valores alrededor de él sí. Es decir, los valores de x mediante los que definimos el acercamiento a x0.
  2. Debido a que trabajamos con el conjunto de números reales, el acercamiento a un valor x0 puede hacerse de 2 formas:
    1. Mediante valores mayores a x0 ( x > x0 ). Lo denominamos acercamiento por la derecha (Tendencia de la variable por la derecha ), o límite lateral por la derecha.
    2. Mediante valores menores a x0 ( x < x0 ). Lo denominamos acercamiento por la izquierda ( Tendencia de la variable por la izquierda ), o límite lateral por la izquierda.

    Pues bien, ambos cálculos, por la derecha y por la izquierda, deben existir y ser iguales para poder afirmar que el límite de la función existe en x0.

  3. El límite de una función en un punto, si existe, es único. A esta proposición se le conoce con el nombre de teorema de existencia y unicidad.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 8: Evaluar el límite de la función f(x) = ex cuando x tiende (se acerca) a 0.

El cálculo propuesto es Límite de exponencial en el origen. En el cálculo de todo límite lo primero es comprobar que la evaluación de la función en el punto se puede calcular, puesto que en ese caso el límite es precisamente ese valor. Efectivamente, en nuestro caso, e0 = 1, con lo que diremos:

Solución del límite de exponencial en el origen

Además, si observamos el gráfico de la función ex.

Gráfica de la función exponencial

Función exponencial

Se aprecia el resultado obtenido. Podemos observar también que ese resultado es el mismo tanto si el acercamiento de x a 0 es por la derecha o por la izquierda.

Ejemplo 9: Calcular Límite de función en el origen  donde Función del límite de ejemplo 9

Observemos que la función f(x) se define mediante 2 expresiones distintas alrededor del punto x = 0. Eso implica que deberemos tener presente los cálculos laterales.

Solución del límite lateral por la izquierda del ejemplo 9(se ha sustituido x = 0 en la expresión correspondiente a x < 0)

Solución del límite lateral por la derecha del ejemplo 9(se ha sustituido x = 0 en la expresión correspondiente a x > 0)

Al darnos ambos límites laterales resultados distintos diremos que el límite no existe.

Si observamos el gráfico de la función:

Gráfica de la función del ejemplo 9

Función de ejemplo 9

Se aprecian los 2 resultados obtenidos en el acercamiento a 0 por la izquierda y por la derecha.

Como definición formal de límite de una función en un punto tenemos:

Diremos que el límite de una función en un punto x0 es L, Definición de limite de una función, si dado ε > 0 tan pequeño como se quiera, es posible encontrar δ > 0 tal que cuando |x – x0| < δ se cumple |f(x) – L| < ε.
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