Calcular el dominio de una función

Artículo 3 de 21 en la serie Funciones reales

Como vimos en el artículo anterior, para calcular el dominio de una función tenemos que analizar en qué valores de la variable x no la vamos a poder evaluar, porque esos valores no pertenecerán al dominio de la función, que representaremos como Dom f, y daremos como el formado por todos los números reales excepto los calculados.

Veamos caso a caso los tipos de cálculo de dominios.

Calcular el dominio de la función cociente

Si , para calcular el dominio de la función debemos analizar qué valores no pertenecen a Dom f con lo que procederemos a resolver la ecuación: h(x) = 0, y las soluciones de la ecuación se excluirán de Dom f.

Podemos considerar como ejemplo el visto anteriormente en el ejemplo 3.

Calcular el dominio de la función raíz cuadrada

Si , o en general , para obtener el dominio de la función debemos analizar qué valores no pertenecen a Dom f y para ello procederemos a resolver la inecuación g(x) < 0. Las soluciones de la inecuación se excluirán de Dom f.

Ejemplo 5:

Resolvemos la inecuación: , para ello descomponemos el polinomio y obtenemos:

Estudiamos el signo de cada binomio, y el signo de la expresión se corresponderá con el producto de signos de cada binomio. Posteriormente nos quedaremos como solución con el intervalo de valores de x con valor menor que 0.

	(-∞,1)	(1,2)	(2,+∞)
Sgn (x-1)	–	+	+
Sgn (x-2)	–	–	+
Sgn [(x-1).(x-2)]	+	–	+

En la tabla se ha reflejado el signo de cada binomio por intervalos, considerando precisamente los valores que anulan a la expresión para crear dichos intervalos. La solución de la inecuación se obtiene a partir de la última fila de la tabla, que refleja el signo de la expresión de la inecuación obtenido multiplicando los signos de cada fila anterior. Así daremos como solución:

x ∈ (1,2)

Daremos como respuesta al cálculo de Dom f:

O bien:

Calcular el dominio de la función logaritmo

Si , o en general , para calcular el dominio de la función analizaremos qué valores no pertenecen a Dom f y procederemos a resolver la inecuación g(x) ≤ 0. Las soluciones de la inecuación se excluirán de Dom f.

Ejemplo 6:

Resolvemos la inecuación: , y al tratarse del mismo polinomio del ejemplo 5, aprovechamos la tabla de la resolución anterior. Así pues la solución a la inecuación es:

x ∈ [1,2]

Daremos como respuesta al cálculo de Dom f:

O bien:

Calcular el dominio de la función tangente

Si , para calcular el dominio de la función analizaremos qué valores no pertenecen a Dom f resolviendo la ecuación: , y las soluciones de la ecuación se excluirán de Dom f.

Es decir, buscamos los valores de x cuyo argumento de la función tangente es el ángulo de 90º, o múltiplo de él en 180º, ya que su tangente es.

Calcular el dominio de la función arcoseno y arcocoseno

Los casos , o bien , pueden resolverse calculando el dominio por inclusión. Basta con resolver la doble inecuación: -1 ≤ g(x) ≤ 1. El Dom f vendrá dado directamente por la solución de la doble inecuación. Nótese que esta doble inecuación representa la resolución del sistema de inecuaciones con una variable:

Calcular el dominio de funciones que combinan las expresiones anteriores

Como caso muy habitual nos encontramos ante funciones que su expresión incorpora más de una de las operaciones anteriores. Para calcular el dominio de la función en este caso procederemos a analizar todas y cada una de las que la definen tal y como se ha descrito. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 7:

Observamos que para evaluar f(x) debemos efectuar un cociente y una raíz cuadrada. Analicemos el Dom f según cada una de estas operaciones.

Respecto al cociente: Los puntos que no pertenecen a Dom f son aquellos que: x-2 = 0.Es decir: x = 2.Con lo que: {2} ∉ Dom f
Respecto a la raíz cuadrada: Los puntos que no pertenecen a Dom f son aquellos que:
La resolución de dicha inecuación representa el análisis del signo de la función , y para ello podemos hacer uso de la tabla del ejemplo 5. En ese caso la solución es:

x ∈ (1,2)

Con lo que: (1,2) ∉ Dom f