Artículo 7 de 21 en la serie Funciones reales

Para realizar el estudio de la continuidad de una función ( Cont f ) partiremos siempre del cálculo previo del dominio ( Dom f ) de la misma (incluso aunque en el ejercicio académico no se exija explícitamente). Una vez obtenido el Dom f, se nos pueden presentar dos casos:

  1. Si la función está definida por una única expresión, el conjunto de puntos donde f(x) es continua es el mismo que los puntos de Dom f. Es decir: Cont f = Dom f. De tal forma, el trabajo realizado en el estudio de Dom f nos sirve totalmente para dar respuesta al estudio de la continuidad de f(x).
  2. Si la función está definida a trozos. Partiremos igualmente de Dom f, pero en este caso, deberemos estudiar la condición de continuidad en aquellos puntos que siendo de Dom f son extremos de los intervalos de definición de f(x) mediante las diferentes expresiones que la componen, ya que pudiendo ser puntos de Dom f no se garantiza el cumplimiento de la condición de continuidad.

Veamos cómo aplicar dicho protocolo de estudio en dos casos concretos.

Ejemplo 13: Estudiar la continuidad de la función f(x)=ex

Observamos que se trata de la función del ejemplo 8. Al tratarse de una función evaluable en todo R tenemos que Dom f = R, con lo que al ser a su vez una función definida por una única expresión:

Cont f = Dom f = R

Ejemplo 14: Estudiar la continuidad de la función Función de ejemplo 7

Observamos que se trata de la función del ejemplo 7, cuyo estudio de su dominio ya se realizó en dicho ejemplo. Al tratarse de una función definida por una única expresión:

Cont f = Dom f = R – {2} – (1,2) = R – (1,2] = (-∞,1] ∪ (2,∞)

Ejemplo 15: Estudiar la continuidad de la función Función del límite de ejemplo 9

Observamos que se trata de la función del ejemplo 9. Al tratarse de una función evaluable en todo R tenemos que Dom f = R. No obstante, en este caso al ser una función definida a trozos, debemos estudiar la continuidad en el punto x = 0 antes de dar el resultado de la continuidad de f(x).

En el estudio de la condición de continuidad en x = 0 tenemos que Límite de función en el origen no existe, con lo que ya podemos decir que f(x) no es continua en ese punto. Así tendremos:

Cont f = Dom f – {0} = R – {0} = (-∞,0) ∪ (0,∞)

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