El cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan se basa en la expresión:
A.A-1=A-1.A=Id
Se trata de plantearla como una ecuación matricial donde el objetivo es encontrar A-1. Para ello seguiremos los siguientes pasos:
#1 Partimos de la matriz A.
#2 Planteamos una estructura matricial como la siguiente:
Observamos dos matrices separadas por la barra vertical. La de la izquierda es la matriz A de la que queremos calcular su matriz inversa. La de la derecha es la matriz identidad.
#3 Mediante transformaciones elementales, conseguimos que la matriz de la izquierda pase a ser la matriz identidad. Nos quedará así:
La matriz que nos queda a la derecha es la matriz inversa de A.
Ejemplo: Cálculo de la matriz inversa de la siguiente matriz:
Triangulación inferior
Usamos las transformaciones elementales para conseguir ceros por debajo de la diagonal principal. Los pasos han sido:
- En el primer paso:
- fila 2 = (-2) x fila 1 + fila 2
- fila 3 = (-3) x fila 1 + fila 3
- En el segundo paso:
- fila 3 = (-4) x fila 2 + fila 3
Triangulación superior
Volvemos a usar las transformaciones elementales para conseguir ceros pero ahora por encima de la diagonal principal. Los pasos han sido:
- En el primer paso:
- fila 2 = fila 3 + 3 x fila 2
- fila 1 = fila 3 + (-10) x fila 1
- En el segundo paso:
- fila 1 = (-20) x fila 2 + 3 x fila 1
Matriz identidad
Tras estos pasos hemos conseguido que la matriz de la izquierda sea diagonal. Ahora falta que acabe siendo la matriz identidad. Para ello, cada fila de toda la estructura matricial la dividimos por el factor de la diagonal que lo permita. En nuestro caso ha sido:
- fila 1 = fila 1 / (-30)
- fila 2 = fila 2 / (-3)
- fila 3 = fila 3 / (-30)
Finalmente la matriz inversa es:
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