El cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan se basa en la expresión:

A.A-1=A-1.A=Id

Se trata de plantearla como una ecuación matricial donde el objetivo es encontrar A-1. Para ello seguiremos los siguientes pasos:

#1 Partimos de la matriz A.

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan

#2 Planteamos una estructura matricial como la siguiente:

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan

Observamos dos matrices separadas por la barra vertical. La de la izquierda es la matriz A de la que queremos calcular su matriz inversa. La de la derecha es la matriz identidad.

#3 Mediante transformaciones elementales, conseguimos que la matriz de la izquierda pase a ser la matriz identidad. Nos quedará así:

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan

La matriz que nos queda a la derecha es la matriz inversa de A.

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan

Ejemplo: Cálculo de la matriz inversa de la siguiente matriz:

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan

Triangulación inferior

Usamos las transformaciones elementales para conseguir ceros por debajo de la diagonal principal. Los pasos han sido:

  • En el primer paso:
    • fila 2 = (-2) x fila 1 + fila 2
    • fila 3 = (-3) x fila 1 + fila 3
  • En el segundo paso:
    • fila 3 = (-4) x fila 2 + fila 3

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan

Triangulación superior

Volvemos a usar las transformaciones elementales para conseguir ceros pero ahora por encima de la diagonal principal. Los pasos han sido:

  • En el primer paso:
    • fila 2 = fila 3 + 3 x fila 2
    • fila 1 = fila 3 + (-10) x fila 1
  • En el segundo paso:
    • fila 1 = (-20) x fila 2 + 3 x fila 1

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan

Matriz identidad

Tras estos pasos hemos conseguido que la matriz de la izquierda sea diagonal. Ahora falta que acabe siendo la matriz identidad. Para ello, cada fila de toda la estructura matricial la dividimos por el factor de la diagonal que lo permita. En nuestro caso ha sido:

  • fila 1 = fila 1 / (-30)
  • fila 2 = fila 2 / (-3)
  • fila 3 = fila 3 / (-30)

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan
Finalmente la matriz inversa es:

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan

<< Matriz inversa
Taller de Integrales

Taller de Integrales

Aprende a integrar con más de 100 integrales resueltas con todo detalle.

You have Successfully Subscribed!

Pin It on Pinterest

Shares
Share This

Compártelo

Comparte el contenido en tus perfiles sociales. A tus amigos también les puede interesar. Gracias.