Cálculo de límites

A la hora de calcular el límite de una función no haremos uso de la definición anterior. ¿Cómo se procede entonces? Para calcular el límite  en general seguiremos el siguiente protocolo:

1. Si la función se define mediante una única expresión, evaluaremos la función en x₀, tal y como se ha procedido en el ejemplo 8.
2. Si la función está definida a trozos y x₀ es uno de los extremos de los intervalos, evaluaremos la función en las expresiones que definen a f(x) a izquierda y derecha de x₀, tal y como se ha procedido en el ejemplo 9.

Según lo descrito en el protocolo anterior, no parece existir ninguna diferencia entre el cálculo de un límite y la evaluación de la función en el punto. De hecho los ejemplos mostrados así lo indican. No obstante, lo cierto es que a la hora de calcular límites nos encontraremos con casos en los que al evaluar la función:

1. O el punto x₀ no pertenece al dominio de la función, Dom f.
2. O el punto x₀ genera una indeterminación en la evaluación de f(x).

Cuando estemos ante alguno de estos casos, el cálculo del límite deberá realizarse mediante procedimientos analíticos que describiremos.

Para empezar vamos a recordar la lista de indeterminaciones de límites ante las que no podremos aventurar el resultado.

1. Indeterminación cero entre cero: 
2. Indeterminación infinito entre infinito: 
3. Indeterminación cero por infinito: 
4. Indeterminación infinito menos infinito: 
5. Indeterminación uno elevado a infinito: 
6. Indeterminación cero elevado a cero: 
7. Indeterminación infinito elevado a cero: 

Ante cualquiera de las anteriores expresiones, ¿qué herramientas usaremos para el cálculo del límite?

Disponemos de las siguientes:

1. Equivalencias infinitésimas: f(x)→0 cuando x→x₀
   1. Equivalencia infinitésima de seno: 
   2. Equivalencia infinitésima de coseno: 
   3. Equivalencia infinitésima de tangente: 
   4. Equivalencia infinitésima de arcoseno: 
   5. Equivalencia infinitésima de arcotangente: 
   6. Equivalencia infinitésima de logaritmo de uno más función: 
2. Otras equivalencias de funciones:
   1. Equivalencia de logaritmo de una función: Si f(x)→1, 
   2. Equivalencia de polinomio en infinito: Si x→∞, 
   3. Equivalencia de logaritmo de polinomio en infinito: Si x→∞, 
3. Regla de L’Hôpital. Esta regla implica trabajar con la derivación, con lo cual se detallará más adelante.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 10: 

Si procedemos a evaluar la expresión en el límite de la variable x, nos encontramos ante una expresión indeterminada del tipo . Usando las equivalencias infinitésimas de seno y tangente:

Ejemplo 11: 

Si procedemos a evaluar la expresión en el límite de la variable x, nos encontramos ante una expresión indeterminada del tipo 1^∞. Usando la fórmula para las indeterminaciones exponenciales que vimos en el tema de sucesiones, y alguna de las equivalencias:

 donde 

Para resolver L usaremos la equivalencia adecuada:

Hemos utilizado los conocimientos de indeterminaciones del tipo con cocientes de polinomios. Por lo tanto finalmente tenemos:

Ejemplo 12: 

Si procedemos a evaluar la expresión en el límite de la variable x, nos encontramos ante una expresión indeterminada del tipo 0⁰. Usando la fórmula para las indeterminaciones exponenciales que vimos en el tema de sucesiones, y alguna de las equivalencias:

 donde 

Para resolver L usaremos el desarrollo del logaritmo de un cociente:

Hemos utilizado los conocimientos de indeterminaciones del tipo con cocientes entre funciones y su «jerarquía» de infinitos. Por lo tanto finalmente tenemos:

No obstante, se debe hacer hincapié en que para el cálculo de límites dispondremos también de la regla de L’Hôpital, que usaremos en la gran mayoría de casos debido a su capacidad resolutiva.

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