Introducción a las funciones de varias variables

En Física es muy frecuente encontrarnos en situaciones donde la magnitud a estudiar depende de más de una variable. Efectivamente, si la región de estudio no es unidimensional y contemplamos el estudio en un plano, a la variable x se le debe añadir una nueva variable, llamémosla y, con lo que tendremos entonces como variable genérica de la función a puntos (x,y). Si el estudio es en el espacio tridimensional, añadimos las variables y, z, y tendremos puntos (x,y,z). Por ejemplo:

• Nos podría interesar conocer con precisión la temperatura en los puntos de una plancha metálica. En ese caso definiremos la función temperatura T(x,y) donde las variables (x,y) definen los puntos de la plano de la plancha.
• Podríamos querer estudiar la presión atmosférica en una determinada región del espacio. Definiremos entonces la función presión como P(x,y,z) donde las variables (x,y,z) definen los puntos del espacio en los que se evalúa la presión.
• Los dos casos anteriores contemplan magnitudes físicas escalares, pero también son objeto de interés en este tema las magnitudes vectoriales, como la fuerza, velocidad, etc. En estos casos no sólo hablamos de varias variables para la función, sino también de más de una componente.

Respecto a los ejemplos anteriores tenemos:

• Para el caso de la temperatura, T:R²→R
• Para el caso de la presión, P:R³→R
• En el caso de una magnitud vectorial como la fuerza, F:R³→R³

Para representar gráficamente una función de varias variables debemos tener en cuenta que nuestra capacidad de representación gráfica está limitada a las tres dimensiones del espacio. Por ello, la mayoría de ejemplos y casos prácticos que contemplaremos serán de funciones f:R²→R. El plano XY se corresponderá con el conjunto inicial de la función, y el eje Z para representar el valor real de la función. Los puntos del plano XY donde la función sea evaluable se corresponderán con el dominio de f(x,y), y el eje Z para representar la imagen de f(x,y).

Sistema cartesiano de 3 coordenadas

La gráfica representada será una superficie en R³. Veamos unos ejemplos.

Ejemplo 1: f(x,y) = sin(x.y) (Función seno de producto de dos variables)

Función seno de producto de dos variables

Ejemplo 2: f(x,y) = x²+y² (Función paraboloide)

Función paraboloide

Ejemplo 3: f(x,y) = x²-y² (Función hiperboloide)

Función hiperboloide

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