Límite de una función

Concepto y definición

Con los conceptos de dominio y recorrido de una función hemos sido capaces de respondernos a la pregunta:

¿Qué valor adopta la función f(x) cuando x vale x₀?

El concepto de límite de una función en un punto nos dará respuesta a la pregunta:

¿A qué valor se acerca la función f(x) cuando x se acerca al valor x₀?

La notación del cálculo de un límite es:

Para que exista la posibilidad de calcular el límite debemos tener presente varias cosas:

1. El valor x₀ no tiene porqué pertenecer al dominio de f(x), pero los valores alrededor de él sí. Es decir, los valores de x mediante los que definimos el acercamiento a x₀.
2. Debido a que trabajamos con el conjunto de números reales, el acercamiento a un valor x₀ puede hacerse de 2 formas:
   1. Mediante valores mayores a x₀ ( x > x₀ ). Lo denominamos acercamiento por la derecha ( ), o límite lateral por la derecha.
   2. Mediante valores menores a x₀ ( x < x₀ ). Lo denominamos acercamiento por la izquierda (  ), o límite lateral por la izquierda.

   Pues bien, ambos cálculos, por la derecha y por la izquierda, deben existir y ser iguales para poder afirmar que el límite de la función existe en x₀.

3. El límite de una función en un punto, si existe, es único. A esta proposición se le conoce con el nombre de teorema de existencia y unicidad.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 8: Evaluar el límite de la función f(x) = e^x cuando x tiende (se acerca) a 0.

El cálculo propuesto es . En el cálculo de todo límite lo primero es comprobar que la evaluación de la función en el punto se puede calcular, puesto que en ese caso el límite es precisamente ese valor. Efectivamente, en nuestro caso, e⁰ = 1, con lo que diremos:

Además, si observamos el gráfico de la función e^x.

Función exponencial

Se aprecia el resultado obtenido. Podemos observar también que ese resultado es el mismo tanto si el acercamiento de x a 0 es por la derecha o por la izquierda.

Ejemplo 9: Calcular   donde 

Observemos que la función f(x) se define mediante 2 expresiones distintas alrededor del punto x = 0. Eso implica que deberemos tener presente los cálculos laterales.

(se ha sustituido x = 0 en la expresión correspondiente a x < 0)

(se ha sustituido x = 0 en la expresión correspondiente a x > 0)

Si observamos el gráfico de la función:

Función de ejemplo 9

Se aprecian los 2 resultados obtenidos en el acercamiento a 0 por la izquierda y por la derecha.

Como definición formal de límite de una función en un punto tenemos:

Diremos que el límite de una función en un punto x₀ es L, , si dado ε > 0 tan pequeño como se quiera, es posible encontrar δ > 0 tal que cuando |x – x₀| < δ se cumple |f(x) – L| < ε.

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