Ecuaciones diferenciales lineales

Las ecuaciones diferenciales lineales son ecuaciones del tipo: 

La solución de estas ecuaciones diferenciales viene dada por: y=y_h+y_p.

Donde:

• y_h: es la solución homogénea de la ecuación diferencial lineal, y viene dada por la solución de la ecuación con la condición q(x)=0. Es decir, , que a su vez resulta ser una ecuación diferencial de variables separables cuya solución responde a la forma .
• y_p: es una solución particular de la ecuación diferencial lineal. Podemos encontrarla mediante el método de variación de la constante, entre otros. Dicho método consiste en:
  1. Consideramos como solución particular la obtenida como homogénea pero con la constante C como función de x, es decir: 
  2. Para encontrar C(x) ensayamos dicha solución en la ecuación diferencial lineal inicial y llegaremos a una ecuación diferencial de variables separables en C(x).
  3. Una vez resuelta la anterior ecuación diferencial obtendremos C(x), con ella podremos tener y_p, y finalmente ya tendremos la solución y(x).

Voy a resolver como ejemplo la siguiente ecuación diferencial: 

Sabemos que al tratarse de una ecuación diferencial lineal la solución viene dada por: y=y_h+y_p.

Paso 1: Solución homogénea de la ecuación diferencial lineal

Aplicamos la condición q(x)=0 a la ecuación diferencial y nos queda y’+2xy=0. Por lo tanto la solución homogénea será:

Paso 2: Solución particular de la ecuación diferencial lineal

Planteamos como solución particular una expresión idéntica a la solución homogénea obtenida pero la constante C es ahora una función de x que debemos determinar.

Aplicamos el método de variación de la constante para encontrar C(x).

Ensayamos las anteriores expresiones en la ecuación inicial.

En la integral resuelta no hemos añadido constante de indeterminación, o simplemente la consideramos 0, puesto que buscamos una expresión particular de C(x) para generar una solución particular de la ecuación. Es decir, la constante de la solución a la ecuación diferencial lineal es la proporcionada por la solución homogénea.

La solución final de la ecuación diferencial lineal vendrá dada por la suma de las soluciones homogénea y particular:

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