Artículo 5 de 7 en la serie Ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones del tipo: Ecuaciones diferenciales de Bernoulli, donde n≠0 y n≠1, ya que en esos casos estaríamos ante una ecuación diferencial lineal.

Se resuelven aplicando el cambio de variable: z=y1-n, donde z(x) es la nueva función incógnita, con lo que tendremos en cuenta que: Cambio de variable en ecuaciones diferenciales de Bernoulli, o Cambio de variable en ecuaciones diferenciales Bernoulli.

El cambio aplicado convierte la ecuación diferencial de Bernoulli en una ecuación diferencial lineal que resolveremos obteniendo z(x), para finalmente obtener y(x) a partir de la ecuación del cambio de variable.

Voy a resolver como ejemplo la siguiente ecuación diferencial: Ejemplo de ecuación diferencial de Bernoulli

Paso 1: Confirmar ecuación diferencial de Bernoulli

Primero confirmo que se trata de una ecuación diferencial de Bernoulli.

Ecuación diferencial de Bernoulli

Paso 2: Cambio de variable

Ahora realizo el cambio de variable z=y3 en la ecuación, y su versión con las derivadas es:

Cambio de variable en ecuación diferencial de Bernoulli

Sustituyo en la ecuación diferencial:

Solución de la ecuación diferencial de Bernoulli

Solución de la ecuación diferencial de Bernoulli

Llegamos a una ecuación diferencial lineal en z(x).

Paso 3: Resolver la ecuación diferencial lineal

La solución de la nueva ecuación diferencial viene dada por la suma de la solución homogénea y una solución particular: z=zh+zp.

  • Solución homogéneaSolución homogénea de la ecuación diferencial lineal
  • Solución particularSolución particular de la ecuación diferencial lineal

Para encontrar C(x) en la solución particular utilizamos el método de la variación de la constante.

Método de variación de la constante 1

Sustituimos la solución particular propuesta y su derivada en la ecuación diferencial lineal a resolver:

Método de variación de la constante 2

Método de variación de la constante 3

Una vez obtenida C(x) ya podemos plantear la solución particular:

Solución particular de la ecuación diferencial lineal

La solución final a la ecuación diferencial lineal en z(x) será por lo tanto:

Solución de la ecuación diferencial lineal

Paso 4: Obtener solución de ecuación diferencial de Bernoulli

Deshacemos el cambio de variable z=y3 para obtener la solución de la ecuación diferencial de Bernoulli y(x).

Solución implícita de la ecuación diferencial de Bernoulli

La solución obtenida es en formato implícito, pero en este caso podemos obtener también la forma explícita de y(x).

Solución explícita de la ecuación diferencial de Bernoulli

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