Art铆culo [part not set] de 7 en la serie Ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales exactas son ecuaciones del tipo:聽Ecuaci贸n diferencial exacta

Que adem谩s cumplen con la condici贸n:聽Condici贸n de ecuaci贸n diferencial exacta

La soluci贸n de estas ecuaciones diferenciales viene dada por la expresi贸n聽Soluci贸n de ecuaci贸n diferencial exacta, donde la funci贸n Funci贸n soluci贸n de la ecuaci贸n diferencial exactaes la soluci贸n del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales:

Sistema de ecuaciones en derivadas parciales

Para resolver este sistema de ecuaciones lo haremos en tres pasos:

Paso 1: Integraci贸n parcial

Se integra M(x,y) respecto a x, o N(x,y) respecto a y, seg煤n convenga. Se obtendr谩 por lo tanto:

Soluci贸n en variable y de ecuaci贸n diferencial exacta, o bien,聽Soluci贸n en variable x de ecuaci贸n diferencial exacta

La funci贸n g(y), o g(x) seg煤n se haya procedido, es una funci贸n inc贸gnita que resulta de la indeterminaci贸n en la variable y si se ha integrado respecto a x, o en x si se ha integrado respecto a y.

Paso 2: Derivada parcial

Se deriva Funci贸n soluci贸n de la ecuaci贸n diferencial exacta聽respecto a y, si se ha integrado M(x,y) respecto a x, o se deriva respecto a x, si se ha integrado N(x,y) respecto a y.

Paso 3: Integral final

De la nueva expresi贸n encontraremos, mediante una nueva integral, la funci贸n inc贸gnita g(y)聽o g(x) seg煤n se haya procedido, y a partir de ella ya tendremos la expresi贸n de Funci贸n soluci贸n de la ecuaci贸n diferencial exacta.

Debes tener presente que en este 煤ltimo proceso de integraci贸n no consideraremos la constante del resultado, ya que la constante de la soluci贸n de la ecuaci贸n diferencial exacta es la que aparece en Soluci贸n de ecuaci贸n diferencial exacta.

Ejemplo de soluci贸n de una ecuaci贸n diferencial exacta

Voy a resolver como ejemplo la siguiente ecuaci贸n diferencial exacta:聽Ejemplo de ecuaci贸n diferencial exacta

Primero comprobamos que se trata de una ecuaci贸n diferencial exacta.

Comprobaci贸n 1 de ecuaci贸n diferencial exacta

Comprobaci贸n 2 de ecuaci贸n diferencial exacta

Como ambas derivadas parciales coinciden se ha confirmado que es una ecuaci贸n diferencial exacta.

Ahora resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones en derivadas parciales:

Sistema de ecuaciones en derivadas parciales

Paso 1: Integramos por ejemplo la primera ecuaci贸n respecto a x.

Integral de la ecuaci贸n en derivadas parciales

Paso 2: Derivamos parcialmente la soluci贸n anterior respecto a y.

Derivada parcial de la soluci贸n de la ecuaci贸n diferencial exacta

Paso 3:聽Sustituyendo el resultado anterior en la segunda ecuaci贸n del sistema en ecuaciones diferenciales llegamos a lo siguiente.

Soluci贸n en segunda ecuaci贸n del sistema

Integrando llegar铆amos a g(y)=C, pero como consideramos C=0, tenemos que g(y)=C. Y la expresi贸n de Funci贸n soluci贸n de la ecuaci贸n diferencial exacta聽quedar谩:

Funci贸n soluci贸n del ejemplo

Y la soluci贸n en formato impl铆cito de la ecuaci贸n diferencial exacta聽es:

Soluci贸n de la ecuaci贸n diferencial exacta del ejemplo

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