Artículo 6 de 7 en la serie Ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales exactas son ecuaciones del tipo: Ecuación diferencial exacta

Que además cumplen con la condición: Condición de ecuación diferencial exacta

La solución de estas ecuaciones diferenciales viene dada por la expresión Solución de ecuación diferencial exacta, donde la función Función solución de la ecuación diferencial exactaes la solución del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales:

Sistema de ecuaciones en derivadas parciales

Para resolver este sistema de ecuaciones lo haremos en tres pasos:

Paso 1: Integración parcial

Se integra M(x,y) respecto a x, o N(x,y) respecto a y, según convenga. Se obtendrá por lo tanto:

Solución en variable y de ecuación diferencial exacta, o bien, Solución en variable x de ecuación diferencial exacta

La función g(y), o g(x) según se haya procedido, es una función incógnita que resulta de la indeterminación en la variable y si se ha integrado respecto a x, o en x si se ha integrado respecto a y.

Paso 2: Derivada parcial

Se deriva Función solución de la ecuación diferencial exacta respecto a y, si se ha integrado M(x,y) respecto a x, o se deriva respecto a x, si se ha integrado N(x,y) respecto a y.

Paso 3: Integral final

De la nueva expresión encontraremos, mediante una nueva integral, la función incógnita g(y) o g(x) según se haya procedido, y a partir de ella ya tendremos la expresión de Función solución de la ecuación diferencial exacta.

Debes tener presente que en este último proceso de integración no consideraremos la constante del resultado, ya que la constante de la solución de la ecuación diferencial exacta es la que aparece en Solución de ecuación diferencial exacta.

Ejemplo de solución de una ecuación diferencial exacta

Voy a resolver como ejemplo la siguiente ecuación diferencial exactaEjemplo de ecuación diferencial exacta

Primero comprobamos que se trata de una ecuación diferencial exacta.

Comprobación 1 de ecuación diferencial exacta

Comprobación 2 de ecuación diferencial exacta

Como ambas derivadas parciales coinciden se ha confirmado que es una ecuación diferencial exacta.

Ahora resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones en derivadas parciales:

Sistema de ecuaciones en derivadas parciales

Paso 1: Integramos por ejemplo la primera ecuación respecto a x.

Integral de la ecuación en derivadas parciales

Paso 2: Derivamos parcialmente la solución anterior respecto a y.

Derivada parcial de la solución de la ecuación diferencial exacta

Paso 3: Sustituyendo el resultado anterior en la segunda ecuación del sistema en ecuaciones diferenciales llegamos a lo siguiente.

Solución en segunda ecuación del sistema

Integrando llegaríamos a g(y)=C, pero como consideramos C=0, tenemos que g(y)=C. Y la expresión de Función solución de la ecuación diferencial exacta quedará:

Función solución del ejemplo

Y la solución en formato implícito de la ecuación diferencial exacta es:

Solución de la ecuación diferencial exacta del ejemplo

<< Ecuaciones diferenciales de BernoulliFactor integrante en ecuaciones diferenciales >>
Taller de Integrales

Taller de Integrales

Aprende a integrar con más de 100 integrales resueltas con todo detalle.

You have Successfully Subscribed!

Pin It on Pinterest

Shares
Share This

Compártelo

Comparte el contenido en tus perfiles sociales. A tus amigos también les puede interesar. Gracias.