Artículo 7 de 7 en la serie Ecuaciones diferenciales

Si una ecuación diferencial del tipo Ecuación diferencial exacta, no cumple la condición para clasificarla como ecuación diferencial exacta, se puede buscar un factor integrante del tipo Factor integrante de forma que la ecuación obtenida sí sea exacta.

¿Cómo buscaremos el factor integrante? En 2 pasos:

Paso 1: Introducción del factor integrante

Partiendo de la ecuación diferencial:

Ecuación diferencial exacta con Condición de ecuación diferencial no exacta

Se multiplica la ecuación por un factor Factor integrante:

Factor integrante para convertir en ecuación diferencial exacta

De forma que ahora se cumpla la condición: Factor integrante para condición de ecuación diferencial exacta

Desarrollándola nos dará la condición de búsqueda del factor integrante.

Factor integrante para convertir en ecuación diferencial exacta 1

Factor integrante para convertir en ecuación diferencial exacta 2

Hemos obtenido la ecuación diferencial en derivadas parciales que nos permite buscar el factor integrante Factor integrante.

Ecuación en derivadas parciales

Paso 2: Resolución de la ecuación en derivadas parciales

La resolución de la ecuación en derivadas parciales anterior para la búsqueda del factor integrante Factor integrante no siempre es fácil. Aquí contemplaremos las situaciones para factores del tipo Factor integrante en x o Factor integrante en y, es decir, factores integrantes que sólo dependan de una de las variables. Tenemos entonces dos opciones:

#1: Que el factor integrante dependa sólo de la variable x

De tal forma que si Factor integrante función de x tenemos que:

Ecuaciones en derivadas parciales para factor integrante en función de x

Que aplicado a la ecuación en derivadas parciales se convierte en:

Ecuación en derivadas parciales para factor integrante en función de x

Para que exista factor integrante del tipo Factor integrante función de x deberá cumplirse la condición de que la expresión:

Condición de factor integrante en función de x

Sólo dependa de x. Por lo tanto, para encontrar un factor integrante del tipo Factor integrante en x debemos resolver la siguiente ecuación diferencial con la condición anterior:

Ecuación diferencial para resolver factor integrante en función de x

#2: Que el factor integrante dependa sólo de la variable y

Análogamente, para buscar un factor integrante del tipo Factor integrante función de y la ecuación a resolver será:

Ecuación diferencial para resolver factor integrante en función de y

Cumpliendo con la condición de que la expresión:

Condición de factor integrante en función de y

Sólo dependa de y.

Ejemplo de búsqueda de factor integrante en función sólo de x

Como caso práctico, voy a buscar el factor integrante del tipo Factor integrante función de x para transformar la ecuación diferencial Ecuación diferencial no exacta en exacta.

En la ecuación diferencial tenemos que:

Derivada parcial de M

Derivada parcial de N

Con lo que se confirma que la ecuación diferencial no es exacta. Comprobemos la existencia de un factor integrante del tipo Factor integrante función de x.

Condición existencia de factor integrante en función de x

Que como hemos obtenido que sólo depende de x, podemos afirmar que existe factor integrante Factor integrante en x.

Para encontrarlo resolvemos la ecuación diferencial:

Solución de factor integrante en x

En la resolución de la integral he considerado la constante de indeterminación C=0, ya que buscamos una solución particular. De tal forma podemos asegurar que la ecuación diferencial no exacta, al multiplicarla por el factor integrante encontrado se transforma en:

Ecuacion diferencial exacta con factor integrante

Que ha resultado una ecuación diferencial exacta.

Te dejo que compruebes esto último tú mismo y para cualquier duda tienes el hilo de comentarios para plantearla.

<< Ecuaciones diferenciales exactas
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