Factor integrante en ecuaciones diferenciales

Si una ecuación diferencial del tipo , no cumple la condición para clasificarla como ecuación diferencial exacta, se puede buscar un factor integrante del tipo  de forma que la ecuación obtenida sí sea exacta.

¿Cómo buscaremos el factor integrante? En 2 pasos:

Paso 1: Introducción del factor integrante

Partiendo de la ecuación diferencial:

 con 

Se multiplica la ecuación por un factor :

De forma que ahora se cumpla la condición:

Desarrollándola nos dará la condición de búsqueda del factor integrante.

Hemos obtenido la ecuación diferencial en derivadas parciales que nos permite buscar el factor integrante .

Paso 2: Resolución de la ecuación en derivadas parciales

La resolución de la ecuación en derivadas parciales anterior para la búsqueda del factor integrante  no siempre es fácil. Aquí contemplaremos las situaciones para factores del tipo  o , es decir, factores integrantes que sólo dependan de una de las variables. Tenemos entonces dos opciones:

#1: Que el factor integrante dependa sólo de la variable x

De tal forma que si  tenemos que:

Que aplicado a la ecuación en derivadas parciales se convierte en:

Para que exista factor integrante del tipo  deberá cumplirse la condición de que la expresión:

Sólo dependa de x. Por lo tanto, para encontrar un factor integrante del tipo  debemos resolver la siguiente ecuación diferencial con la condición anterior:

#2: Que el factor integrante dependa sólo de la variable y

Análogamente, para buscar un factor integrante del tipo  la ecuación a resolver será:

Cumpliendo con la condición de que la expresión:

Sólo dependa de y.

Ejemplo de búsqueda de factor integrante en función sólo de x

Como caso práctico, voy a buscar el factor integrante del tipo  para transformar la ecuación diferencial  en exacta.

En la ecuación diferencial tenemos que:

Con lo que se confirma que la ecuación diferencial no es exacta. Comprobemos la existencia de un factor integrante del tipo .

Que como hemos obtenido que sólo depende de x, podemos afirmar que existe factor integrante .

Para encontrarlo resolvemos la ecuación diferencial:

En la resolución de la integral he considerado la constante de indeterminación C=0, ya que buscamos una solución particular. De tal forma podemos asegurar que la ecuación diferencial no exacta, al multiplicarla por el factor integrante encontrado se transforma en:

Que ha resultado una ecuación diferencial exacta.

Te dejo que compruebes esto último tú mismo y para cualquier duda tienes el hilo de comentarios para plantearla.

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