Artículo 4 de 7 en la serie Ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales lineales son ecuaciones del tipo: Ecuaciones diferenciales lineales

La solución de estas ecuaciones diferenciales viene dada por: y=yh+yp.

Donde:

  • yh: es la solución homogénea de la ecuación diferencial lineal, y viene dada por la solución de la ecuación con la condición q(x)=0. Es decir, Ecuaciones diferenciales lineales parte homogénea, que a su vez resulta ser una ecuación diferencial de variables separables cuya solución responde a la forma Solución homogénea de ecuación diferencial lineal.
  • yp: es una solución particular de la ecuación diferencial lineal. Podemos encontrarla mediante el método de variación de la constante, entre otros. Dicho método consiste en:
    1. Consideramos como solución particular la obtenida como homogénea pero con la constante C como función de x, es decir: Solución particular de ecuación diferencial lineal
    2. Para encontrar C(x) ensayamos dicha solución en la ecuación diferencial lineal inicial y llegaremos a una ecuación diferencial de variables separables en C(x).
    3. Una vez resuelta la anterior ecuación diferencial obtendremos C(x), con ella podremos tener yp, y finalmente ya tendremos la solución y(x).

Voy a resolver como ejemplo la siguiente ecuación diferencial: Ejercicio de ecuaciones diferenciales lineales

Sabemos que al tratarse de una ecuación diferencial lineal la solución viene dada por: y=yh+yp.

Paso 1: Solución homogénea de la ecuación diferencial lineal

Aplicamos la condición q(x)=0 a la ecuación diferencial y nos queda y’+2xy=0. Por lo tanto la solución homogénea será:

Solución homogénea de la ecuación diferencial lineal

Paso 2: Solución particular de la ecuación diferencial lineal

Planteamos como solución particular una expresión idéntica a la solución homogénea obtenida pero la constante C es ahora una función de x que debemos determinar.

Solución particular de la ecuación diferencial lineal

Aplicamos el método de variación de la constante para encontrar C(x).

Método de variación de la constante 1

Ensayamos las anteriores expresiones en la ecuación inicial.

Llegado este punto, en la expresión resultante deben anularse todas las C(x), quedando sólo C'(x) y la expresión en x, resultando la ecuación de variables separables en C(x).

Método de variación de la constante 2

Método de variación de la constante 3

En la integral resuelta no hemos añadido constante de indeterminación, o simplemente la consideramos 0, puesto que buscamos una expresión particular de C(x) para generar una solución particular de la ecuación. Es decir, la constante de la solución a la ecuación diferencial lineal es la proporcionada por la solución homogénea.

Solución particular de la ecuación diferencial lineal

La solución final de la ecuación diferencial lineal vendrá dada por la suma de las soluciones homogénea y particular:

Solución de la ecuación diferencial lineal

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