Artículo [part not set] de 7 en la serie Ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales homogéneas son ecuaciones del tipo: Ecuaciones diferenciales homogéneas

Que cumplen la condición: Condición de ecuaciones diferenciales homogéneas

Se resuelven aplicando el cambio de variable: y=u·x, donde u(x) es la nueva función incógnita, con lo que tendremos en cuenta que: y’=u’·x+u. El cambio aplicado convierte la ecuación diferencial homogénea en una de variables separables que resolveremos obteniendo u(x), para finalmente obtener y(x) a partir de la ecuación del cambio de variable.

Voy a resolver como ejemplo la siguiente ecuación diferencial homogéneaEjercicio de ecuaciones diferenciales homogéneas

Paso 1: Comprobamos que se trata de una ecuación diferencial homogénea

Aislamos y’.

Ecuaciones diferenciales homogéneas 2

Con lo que nuestra f(x,y) resulta:

Ecuaciones diferenciales homogéneas 3

La comprobación es:

Comprobación de ecuación diferencial homogénea 1

Comprobación de ecuación diferencial homogénea 2

Por lo tanto queda comprobado que es una ecuación diferencial homogénea.

Paso 2: Realizamos el cambio de variable

Tomamos la ecuación diferencial y aplicamos el cambio:

  • y=u·x
  • y’=u’·x+u

Cambio de variable en ecuación diferencial homogénea 1

Cambio de variable en ecuación diferencial homogénea 2

Llegamos a una ecuación diferencial de variables separables en u(x).

Paso 3: Resolver la ecuación diferencial de variables separables

Ecuaciones diferenciales homogéneas 8

Ecuaciones diferenciales homogéneas 9

Paso 4: Deshacemos el cambio de variable

Aplicando la ecuación del cambio de variable Ecuaciones diferenciales homogéneas 10 a la solución final de la ecuación diferencial homogénea, obtenemos la solución en y(x).

Solución implícita de ecuación diferencial homogénea

La solución obtenida es en formato implícito, pero en este caso podemos obtener también la forma explícita de y(x).

Solución explícita de ecuación diferencial homogénea

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