Artículo 2 de 9 en la serie Matrices

Suma de matrices

Para sumar dos matrices, A + B, es necesario que ambas sean de la misma dimensión. La operación se realiza sumando elemento a elemento.

rij = aij + bij

 Ejemplo de suma de matricesEjemplo de suma de matrices

Propiedades de la suma de matrices

Dadas tres matrices A, B y C, la operación suma de matrices cumple con las siguientes propiedades:

  • Conmutativa: A + B = B + A
  • Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)
  • La matriz nula actúa como elemento neutro de la suma: A + 0 = 0
  • La matriz opuesta (-A), a una matriz dada A, es la obtenida al cambiar el signo a todos los elementos. Además A + (-A) = 0

Producto de una matriz por un escalar

Para multiplicar una matriz por un escalar, λ.A, se multiplican todos los elementos de la matriz por el escalar, es decir:

Dada la matriz: Matriz m filas por n columnas, entonces Matriz resultado de multiplicar un escalar por una matriz

Ejemplo de producto de escalar por matrizEjemplo de producto de un escalar por una matriz

Propiedades del producto de una matriz por un escalar

Si λ, μ son dos reales y A, B dos matrices de dimensiones iguales, la operación producto de una matriz por un escalar cumple las siguientes propiedades:

  • Distributiva respecto a la suma de reales: (λ + μ).A = λ.A + μ.A
  • Distributiva respecto a la suma de matricesλ.(A + B) = λ.A + λ.B
  • λ.(μ.A) = (λ.μ).A

Producto de matrices

Para entender mejor cómo se realiza el producto de matrices primero describimos la operación producto de matriz fila por matriz columna, que se realiza multiplicando entre sí los elementos de la misma posición de ambas matrices, y sumando los productos obtenidos, es decir:

Producto de matriz fila por matriz columna

Ejemplo de producto de matriz fila por matriz columna:

Ejemplo de producto de matriz fila por matriz columna

Observaciones:

  • Las longitudes de la fila y de la columna han de coincidir, porque de lo contrario la operación no tiene sentido.
  • El producto de matriz fila por matriz columna coincide con la operación producto escalar entre vectores.

Veamos ahora el caso general de multiplicar dos matrices A×B. El resultado de la operación es otra matriz cuyo elemento rij, es el resultado de multiplicar la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B.

Ejemplos de multiplicación de matrices:

Ejemplo 1 de producto de matrices

Ejemplo 2 de producto de matrices

Observaciones:

  • La longitud de las filas de la primera matriz debe ser igual a la longitud de las columnas de la segunda matriz. O lo que es lo mismo, el número de columnas de la primera matriz igual al número de filas de la segunda matriz.
  • El producto de matrices no es conmutativo, es decir, al intercambiar el orden de las matrices la operación incluso puede no tener sentido al no cumplir con la condición anterior.

Propiedades del producto de matrices

Dadas tres matrices A, B y C, la operación producto de matrices cumple con las siguientes propiedades:

  • Asociativa: Si A es una matriz m×n, B una matriz n×p y C una matriz p×q: A×(B×C) = (A×B)×C
  • Distributiva respecto a la suma de matrices: Si A y B son matrices m×n y C una matriz n×p: (A + B)×C = A×C + B×C
  • En el caso del producto de matrices cuadradas n×n, la matriz identidad In actúa como elemento neutro de la multiplicación: A×In = In×A = A
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