Artículo 1 de 9 en la serie Integrales indefinidas

Decimos que una función F(x) es la integral indefinida de la función f(x) si se cumple que:

F’(x) = f(x)

Es decir, la derivada de F(x) nos da como resultado f(x). Por lo tanto decimos que derivada e integral son operaciones inversas. A la integral indefinida también se le conoce como primitiva de la función f(x). Por ejemplo:

  • Integral indefinida del coseno es la integral indefinida o primitiva de Función coseno ya que F’(x) = f(x)
  • Integral indefinida de una potencia es la integral indefinida o primitiva de Función potencia ya que F’(x) = f(x)

Observar también que:

  • Integral indefinida del coseno más constante 1 también es una primitiva de Función coseno ya que F’(x) = f(x)
  • Integral indefinida del coseno más constante 2 también es una primitiva de Función coseno ya que F’(x) = f(x)

Es decir, añadir una constante a la primitiva no modifica la función de quién es primitiva, puesto que a la hora de derivar, la constante desaparece. Esto nos lleva a definir el concepto de integral indefinida, entendiendo como tal e indicándola así:

Integral indefinida

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Propiedades de la integral indefinida

  1. Integral de la suma de funcionesIntegral indefinida de la suma de funciones
  2. Integral de una constante por una funciónIntegral indefinida de una constante por una función
  3. Regla de la cadena en la integral indefinida: Si Integral indefinida , entonces Regla de la cadena en integral indefinida

Debido a la importancia de esta última propiedad veamos un ejemplo.

Sabiendo que Integral indefinida del coseno , entonces Integral indefinida del coseno con regla de la cadena.

Os lo explico. Siendo el argumento del coseno la función x3, al tener su derivada 3x2 como factor en la integral, podemos aplicar la regla directa de la integral del coseno, pero manteniendo el argumento de x3.

En general, para calcular integrales indefinidas seguiremos estos pasos:

  1. Partiremos de la tabla de integrales inmediatas, que se deduce a su vez de la tabla de derivadas directas, pero reflejando el proceso inverso.
  2. Si no podemos aplicar alguna de las integrales de las de la tabla de inmediatas, procederemos a usar alguna de las 3 propiedades anteriores para transforma nuestra integral en alguna de las de la tabla, y resolverla.
  3. Si mediante las propiedades descritas no podemos resolver la integral, habrá que aplicar alguno de los métodos de integración que se presentarán. Estos métodos son:
    • Integración por partes.
    • Integración por cambio de variable.
    • Integración racional.
Integrales inmediatas >>
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