Artículo 2 de 9 en la serie Integrales indefinidas

En este artículo os voy a presentar con ejemplos resueltos las diferentes integrales inmediatas que componen la tabla de integrales.

Integral inmediata de la potencia

  • En versión de integral inmediata: Integral de una potencia con n ≠ -1
  • En versión de regla de la cadena: Integral de la potencia de una función con n ≠ -1

Ejercicio 1

  1. Integrales inmediatas 1
    Sacamos la constante fuera de la integral y aplicamos la regla.
  2. Integrales inmediatas 2
    Al disponer la derivada del seno en el interior de la integral, se aplica la versión de integral inmediata de la potencia con regla de la cadena.

Integral inmediata de la inversa de x

  • En versión integral inmediata: Integral de la inversa de x
  • En versión de regla de la cadena: Integral de la inversa de una función

Ejercicio 2

  1. Integrales inmediatas 3
    Sacamos la constante fuera de la integral y aplicamos la regla.
  2. Integrales inmediatas 4
    Al disponer la derivada del denominador en el interior de la integral, se aplica la versión de integral inmediata con regla de la cadena.
  3. Integrales inmediatas 5
    En este caso para disponer de la derivada del denominador sólo nos falta el factor 2 por lo tanto lo introducimos en la integral, y fuera de ella multiplicamos por su inversa para no modificar la expresión. Entonces al disponer de la derivada del denominador ya podemos aplicar la integral inmediata con regla de la cadena.

Integral inmediata de la exponencial

  • En versión de integral inmediata: Integral de la exponencial. Si a = e entonces: Integral de la exponencial con base e
  • En versión de regla de la cadena: Integral de la exponencial de una función. Si a = eIntegral de la exponencial con base e de una función

Ejercicio 3

  1. Integrales inmediatas 6
    He aplicado directamente la regla de integración.
  2. Integrales inmediatas 7
    Para disponer de la derivada del exponente nos falta el factor 2 en el interior de la integral. Lo introducimos y al mismo tiempo multiplicamos fuera de la integral por su factor inverso, y ya podemos aplicar la integral inmediata con regla de la cadena.

Integral inmediata del seno

  • En versión de integral inmediata: Integral del seno
  • En versión de regla de la cadena: Integral del seno de una función

Ejercicio 4

  1. Integrales inmediatas 8
    Separo la integral en suma de dos integrales. Posteriormente se resuelvo cada una de ellas aplicando la regla de integrales inmediatas para potencia y seno.
  2. Integrales inmediatas 9
    Para disponer de la derivada del argumento del seno nos falta el factor 3 en el interior de la integral. Lo introducimos y al mismo tiempo multiplicamos fuera de la integral por su factor inverso, y ya podemos aplicar la integral inmediata con regla de la cadena.

Integral inmediata del coseno

  • En versión de integral inmediata: Integral del coseno
  • En versión de regla de la cadena: Integral del coseno de una función

Ejercicio 5

  1. Integrales inmediatas 10
    Al tener en la integral la derivada del argumento del coseno aplico la integral inmediata con regla de la cadena.
  2. Integrales inmediatas 11
    En este caso sólo nos falta el factor 2, que lo introducimos y lo compensamos multiplicando fuera de la integral por su inverso.

Integral inmediata de resultado tangente

  • En versión de integral inmediata: Integral con resultado tangente
  • En versión de regla de la cadena: Integral con resultado tangente de una función

Ejercicio 6

  1. Integrales inmediatas 12
    Al tener en la integral la derivada de logaritmo neperiano aplico la integral inmediata con regla de la cadena.
  2. Integrales inmediatas 13
    Para tener la derivada del argumento de la tangente nos falta el factor 3 en el interior de la integral. Lo introducimos y al mismo tiempo multiplicamos fuera de la integral por su factor inverso, y ya podemos aplicar la integral inmediata con regla de la cadena.

Integral inmediata de resultado menos cotangente

  • En versión de integral inmediata: Integral con resultado cotangente
  • En versión de regla de la cadena: Integral con resultado cotangente de una función

Ejercicio 7

  1. Integrales inmediatas 14
    He aplicado la regla de integración al tener en la integral la derivada del argumento del seno.
  2. Integrales inmediatas 15
    Para tener la derivada del argumento de la cotangente nos falta el factor (-1) en el interior de la integral. Lo introducimos y al mismo tiempo multiplicamos fuera de la integral por su factor inverso, y ya podemos aplicar la integral inmediata con regla de la cadena.

Integral inmediata de resultado arcoseno

  • En versión de integral inmediata: Integral con resultado arcoseno
  • En versión de regla de la cadena: Integral con resultado arcoseno de una función

Ejercicio 8

  1. Integrales inmediatas 16
    He ido realizando transformaciones hasta poder aplicar la integral inmediata pero en versión regla de la cadena.
  2. Integrales inmediatas 17
    Igual que en el ejemplo anterior he transformado la integral.

Analizando las transformaciones realizadas en los 2 casos podemos generalizar la regla y proponer la siguiente integral inmediata con resultado arcoseno:

Integral con resultado arcoseno general , o también, Integral resultado arcoseno de una función general

Integral inmediata de resultado arcotangente

  • En versión de integral inmediata: Integral con resultado arcotangente
  • En versión de regla de la cadena: Integral con resultado arcotangente de una función

Ejercicio 9

  1. Integrales inmediatas 18
    He aplicado la integral inmediata ya que tenemos la derivada del seno en el interior de la integral.
  2. Integrales inmediatas 19-i
    Integrales inmediatas 19-ii
    He aplicado transformaciones similares a las del caso 2 del ejercicio 8.

Igual que con el arcoseno, podemos generalizar la regla y proponer la siguiente integral inmediata con resultado arcotangente:

Integral con resultado arcotangente general , o también, Integral con resultado arcotangente de una función general

Puedes ver todas estas reglas recopiladas en una tabla aquí.
<< Integral indefinida y concepto de primitivaIntegral por partes >>
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