Artículo 3 de 9 en la serie Integrales indefinidas

En al artículo anterior os decía que ante la resolución de una integral, si las transformaciones matemáticas básicas o las propiedades de la integral no nos permiten identificarla con una de las de la tabla de integrales, entonces deberemos plantear su resolución mediante alguno de los métodos de integración que os indicaba. Cualquiera de ellos tiene como objetivo transformar la integral inicial en una más sencilla que pueda ser resuelta mediante una integral inmediata, o en su defecto, reducir la dificultad inicial y aplicar de nuevo un método de integración hasta poder dar con la solución final.

En este artículo os voy a presentar el método de la integral por partes como opción para resolver integrales que no son de entrada inmediatas.

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Método de resolución de la integral por partes

Este método resuelve la integral según la fórmula:

Fórmula de la integral por partesIntegral por partes

Para aplicar la fórmula los pasos a seguir son:

  1. Reagrupar una parte de la integral como u y otra como dv. Naturalmente el dx de la integral original deberá quedar reagrupado en dv.
  2. Calculamos los equivalentes du mediante la derivada de u, y v mediante la integral de dv.
  3. Resolvemos la nueva integral planteada Integral por partes 2. Lo ideal es que hayamos conseguido que sea una integral inmediata o transformable fácilmente en una inmediata. Pero es posible también que para resolverla debamos utilizar de nuevo el método de la integral por partes, o incluso el de cambio de variable o integración racional, que describiré en próximos artículos.

Os lo muestro con el siguiente ejercicio. Nos proponemos resolver la siguiente integral por partesIntegral por partes 1.

Reagrupamos u y dv y calculamos du y v.

Integral por partes 1-i

He calculado v mediante la integral inmediata de la exponencial: Integral por partes 1-iii.

Aplicamos estos resultados según la fórmula de la integral por partes y obtenemos la solución:

Integral por partes 1-ii

Os comento unos detalles de la resolución:

  1. Al aplicar el método de la integral por partes la nueva integral resultante es inmediata al tratarse de la misma integral resuelta al calcular v, y con su resolución queda resuelta la integral inicial.
  2. En el cálculo de v mediante la integral de dv no es necesario añadir la constante de integración, porque añadimos en el resultado final la constante que engloba todas las de las diferentes integrales que aparezcan en el proceso.
  3. El cálculo de du se realiza derivando u y multiplicando por dx. En nuestro caso la derivada es 1, con lo que tenemos que du = dx.

¿Cómo aplicar correctamente la integral por partes?

El método de la integral por partes plantea 2 interrogantes para su aplicación:

  1. ¿Cuándo es conveniente aplicar el método?
  2. Si decidimos aplicarlo, ¿cuál es la elección correcta de u, y en consecuencia de dv?

En la correcta respuesta a estas 2 preguntas radica el éxito de este método. Para ello os voy a presentar una regla mnemotécnica muy útil llamada regla de LIATE.

Veamos en qué consiste esta regla. Observemos las siglas de la palabra LIATE. Cada una de ellas se refiere a una categoría de funciones. Así pues tenemos:

  • L: Logaritmos (ln x, log x, etc.)
  • I: Inversas trigonométricas (arctan x, arcsin x, etc.)
  • A: Aritméticas. Se refiere a las potencias de x o polinomios en general (xn, Pn(x), etc.)
  • T: Trigonométricas (sin x, cos x, etc.)
  • E: Exponenciales (ex, ax, etc.)

La regla de LIATE responde a las 2 anteriores preguntas de la siguiente forma:

  1. Si tenemos en la integral 2 de entre estas 5 categorías de funciones multiplicándose o dividiéndose, el método de la integral por partes es adecuado para la resolución. Aún no queriendo decir que sea el único posible.
  2. Elegiremos como u en el método de la integral por partes, la función cuya categoría ocupe su sigla la posición más a la izquierda en la palabra LIATE.

Efectivamente, si observamos la integral por partes que he resuelto en el ejemplo tenemos:

  • La integral planteada es una multiplicación de una potencia de x y una exponencial, LIATE.
  • Se ha elegido como u precisamente x, que es la categoría de función cuya sigla está más a la izquierda en la palabra LIATE.

Y hemos comprobado que la integral se ha resuelto correctamente.

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