Artículo 4 de 9 en la serie Integrales indefinidas

En el artículo anterior os describí el primer método de integración para cuando las transformaciones matemáticas básicas o las propiedades de la integral no nos permiten identificarla con una de las de la tabla de integrales, era la integración por partes.

En este artículo os voy a presentar el método para resolver integrales por sustitución o como también se le conoce, integración por cambio de variable. El objetivo de este nuevo método, igual que os decía en el anterior, es transformar la integral inicial en una más sencilla que pueda ser resuelta mediante una integral inmediata, o en su defecto, reducir la dificultad inicial y aplicar de nuevo un método de integración hasta poder dar con la solución final.

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Método para resolver integrales por sustitución o cambio de variable

La resolución de integrales por sustitución se basa en sustituir por una nueva variable de integración algún bloque de la integral inicial que dificulte la resolución directa.

El proceso general se describe según:

Integrales por sustitución
Cambio de variable efectuado: Integrales por cambio de variable
Equivalente diferencial del cambio: Integrales por cambio de variable i

Os lo muestro con el siguiente ejercicio. Nos proponemos resolver la siguiente integral por sustituciónIntegrales por sustitución 1.

Aplicamos el cambio de variableIntegrales por sustitución 1-ii , y su equivalente diferencial: Integrales por sustitución 1-iii.

La resolución quedará así:

Integrales por sustitución 1-i

Os lo explico. He sustituido ln x por t según el cambio de variable propuesto y el resto del interior de la integral por dt según el equivalente diferencial del cambio. Posteriormente la integral que nos queda en la nueva variable t es una integral inmediata de tipo potencial. Una vez resuelta he vuelto a utilizar el cambio para dar la solución final según la variable original x.

Fijaros que en este ejercicio el cambio de variable no ha sido del tipo x = g(t), sino que hemos elegido el bloque ln x de la función a integrar y le hemos asignado la variable t. O sea, ha sido un cambio del tipo t = g(x). Esto también es posible en las integrales por sustitución o cambio de variable.

¿Cómo aplicar correctamente la integración por sustitución o cambio de variable?

Podemos empezar a intuir que la verdadera dificultad de las integrales por sustitución va a estar en ser capaces de “acertar” con el cambio de variable. Para ello no existe una “regla mágica” que nos resuelva esta “papeleta” al 100%. Vamos a depender mucho del “prueba y error” y como es evidente, de la experiencia que acumulemos resolviendo integrales por cambio de variable. Por eso siempre os aconsejo resolver cuantas más mejor, o sea, trabajar, trabajar y trabajar.

De todas formas también hay buenas noticias. Os adelanto que aún no habiendo esa “regla mágica” lo que sí os presentaré en próximos artículos es una serie de cambios de variable típicos que se aplican a según que integrales, con lo que al final sí que podremos asegurar un determinado porcentaje de integrales por sustitución que habremos sido capaces de mecanizar. Veremos cambios de variable: trigonométricos, exponenciales, irracionales, etc.

Pero como ya os decía, eso lo iremos viendo con detalle en próximos artículos.

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