Artículo 5 de 9 en la serie Integrales indefinidas

En los artículos anteriores os presenté dos métodos de integración para resolver integrales cuando las transformaciones matemáticas básicas o las propiedades de la integral no nos permiten identificarla con una de las de la tabla de integrales, me refiero a la integración por partes y la integración por cambio de variable.

En este artículo os voy a explicar el método para resolver integrales racionales.

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Método para resolver integrales racionales

Este método sirve para resolver integrales de cocientes de polinomios. Es decir, las integrales racionales son aquellas del tipo:

Integrales racionales

Los pasos a seguir en este método son:

  1. Confirmar que el grado del polinomio numerador es inferior al del denominador. Si es así seguimos con el siguiente paso. En caso contrario (que sea igual o superior) realizamos la división de los polinomios y descomponemos la fracción. Por lo tanto la integral queda de la siguiente forma:Integrales racionales iDonde:
    • C(x) es el cociente de la división de los polinomios P(x) entre Q(x).
    • R(x) es el resto de dicha división.
    • La integral de C(x) será directa al tratarse de una expresión polinómica, y para realizar la segunda integral seguiremos con el siguiente paso, ya que ahora el grado de R(x) será inferior al de Q(x).
  2. Calcular las raíces del polinomio denominador para descomponerlo, por ejemplo utilizando las divisiones de Ruffini.
  3. Efectuar la descomposición del cociente de polinomios en fracciones simples.
  4. Integrar cada una de las fracciones simples obtenidas. Las integrales resultarán ser directas o casi directas.

Diferentes casos de integrales racionales

Cuando resolvemos integrales racionales en la obtención de las raíces del polinomio denominador se podrán dar diferentes casos que condicionarán la descomposición en fracciones simples:

Caso 1: Integrales racionales con raíces reales simples

Son aquellas en las que el polinomio del denominador tiene todas sus raíces reales y además de exponente 1. La descomposición del cociente de polinomios en fracciones simples será del tipo:

Integrales racionales caso 1

Los coeficientes A, B, C,… se calculan efectuando la suma de las fracciones simples e identificando el numerador del resultado con P(x). Os lo mostraré con un ejercicio resuelto de integral racional del caso 1 en el siguiente artículo.

Caso 2: Integrales racionales con raíces reales múltiples

Son aquellas en las que el polinomio del denominador tiene todas sus raíces reales y alguna de ellas con exponente mayor que 1. La descomposición del cociente de polinomios en fracciones simples será del tipo:

Integrales racionales caso 2

Los coeficientes A1A2,…,An, BC,… se calculan de igual modo que en el caso anterior.  Os mostraré un ejercicio resuelto de integral racional del caso 2 en un próximo artículo.

Caso 3: Integrales racionales con raíces complejas simples

Son aquellas en las que el polinomio del denominador tiene alguna raíz compleja, y por lo tanto también tendrá su raíz compleja conjugada, pero las raíces complejas tendrán exponente 1. La descomposición del cociente de polinomios en fracciones simples será del tipo:

Integrales racionales caso 3

Fijaros que he incorporado en la expresión unos puntos suspensivos porque también podríamos tener raíces reales tanto simples como múltiples, en cuyo caso añadiremos a la descomposición las fracciones simples de esas raíces según los casos 1 y 2.

Alfa (α) y beta (β) son respectivamente la parte real e imaginaria de las raíces complejas conjugadas del polinomio ax2+bx+c.

Los coeficientes M y N, junto con los que pudieran haber de otras raíces, se calcularán de la misma forma que en los casos anteriores. Podéis acabar de entender este procedimiento con un ejercicio resuelto de integral racional del caso 3 que os prepararé en un próximo artículo.

Eso sí, y ¡muy importante!, para todos los casos os recomiendo que realicéis la suma de las fracciones simples sólo con el método del mínimo común múltiplo de los denominadores.

Podemos también contemplar un caso 4 que sería aquel en el que el denominador del cociente de polinomios tiene raíces complejas conjugadas con alguna de exponente mayor que 1. Lo veremos también en un próximo artículo con un ejercicio resuelto de integrales racionales.

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