Artículo 6 de 9 en la serie Integrales indefinidas

En este artículo os voy a desarrollar un ejercicio de integrales racionales del caso 1 que describimos en el artículo anterior. El caso 1 es aquel que trata la integración de cociente de polinomios con raíces reales simples del denominador.

La integral racional a resolver es la siguiente: Integrales racionales reales simples

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Primer paso: División de la fracción

Al tratarse de una integral racional con el grado del numerador mayor que el del denominador, procedemos primero a efectuar la división, obteniendo como:

  • Cociente C(x): x+3
  • Resto R(x): 7x-5

Os muestro la resolución de la división de polinomios:

Integrales racionales cociente de polinomios

La integral nos quedará:

Integrales racionales reales simples 1

Como podéis observar he descompuesto la integral racional inicial en la del cociente obtenido de la división, y la de un nueva fracción de polinomios creada por el resto de la división y su divisor donde ahora sí que el polinomio numerador tiene grado inferior que el del denominador.

Segundo paso: Descomponer el denominador

Descomponemos por Ruffini el polinomio denominador encontrando 2 raíces reales de exponente 1 cada una de ellas. Confirmamos entonces que estamos ante una integral racional del caso 1.

El polinomio denominador puede descomponerse en:

Integrales racionales reales simples 2

Os muestro la descomposición por Ruffini:

Integrales racionales Ruffini

Tercer paso: Descomponer en fracciones simples el cociente de polinomios

Descomponemos en fracciones simples el cociente de polinomios de la integral racional. Para ello planteamos la suma de fracciones donde el numerador es una constante a determinar y el denominador cada uno de los binomios de la descomposición del polinomio denominador. Así pues tendremos:

Integrales racionales reales simples 3

Para determinar las constantes A y B.

  1. Sumamos ambas fracciones.
    Integrales racionales reales simples 4
  2. Igualamos los numeradores, ya que los denominadores son el mismo, y obtenemos una igualdad entre polinomios.
    Integrales racionales reales simples 5
  3. Para encontrar A y B damos 2 valores a x y resolvemos el sistema de ecuaciones resultante. No obstante, si los valores que damos son los de las raíces obtenidas, calcular A y B resulta inmediato.Integrales racionales reales simples 6

Cuarto paso: Resolución de la integral racional

Una vez obtenida la descomposición en fracciones simples del cociente de polinomios, resolvemos las integrales de dichas fracciones. Cada una de ellas resultarán ser logaritmos neperianos del denominador.

Integrales racionales reales simples 7

Integrales racionales reales simples 8

Integrales racionales reales simples 9

Hemos obtenido como solución de la integral racional:

Integrales racionales reales simples 10

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