Artículo 7 de 9 en la serie Integrales indefinidas

Siguiendo con el desarrollo de ejercicios de integrales racionales os voy a desarrollar un ejercicio del caso 2 que ya os describí en este otro artículo. El caso 2 es aquel que trata la integración de cociente de polinomios con raíces reales múltiples en el denominador.

La integral racional a resolver es la siguiente: Integrales racionales reales múltiples

Aprende a integrar con mi Taller de Integrales

Taller de Integrales
Con más de 100 integrales resueltas. Más información aquí

Primer paso: División de la fracción

Al tratarse de una integral racional con el grado del numerador menor que el del denominador seguiremos la resolución en el segundo paso.

Segundo paso: Descomponer el denominador

Descomponemos por Ruffini el polinomio denominador encontrando 2 raíces reales, pero una con exponente 2 y la otra con exponente 1. Queda confirmado entonces que la integral racional planteada es del caso 2.

El polinomio denominador puede descomponerse en:

Integrales racionales reales múltiples 1

Os enseño la descomposición por Ruffini:

Integrales racionales Ruffini

Tercer paso: Descomponer en fracciones simples el cociente de polinomios

Descomponemos en fracciones simples el cociente de polinomios de la integral racional. Para ello planteamos la suma de fracciones donde el numerador es una constante a determinar y el denominador cada uno de los binomios de la descomposición del polinomio denominador. A diferencia del caso 1, ahora la raíz con exponente mayor que 1 aporta tantas fracciones como exponente tiene. Los denominadores de estas fracciones se corresponden con binomios de exponente decreciente desde el exponente de la descomposición de Ruffini hasta llegar a exponente 1. Así pues tendremos:

Integrales racionales reales múltiples 2

Para determinar las constantes A, B y C:

  1. Sumamos ambas fracciones.
    Integrales racionales reales múltiples 3
  2. Igualamos los numeradores, ya que los denominadores son el mismo, y obtenemos una igualdad entre polinomios.
    Integrales racionales reales múltiples 4
  3. Para encontrar A, B y C damos 3 valores a x y resolvemos el sistema de ecuaciones resultante. No obstante, si los valores que damos son los de las raíces obtenidas, calcular 2 de las constantes resulta inmediato. La tercera se resuelve dando un tercer valor cualquiera a x y partiendo del conocimiento de las otras 2 constantes ya calculadas. Yo le he dado el valor 0.
    Integrales racionales reales múltiples 5

Cuarto paso: Resolución de la integral racional

Una vez obtenida la descomposición en fracciones simples del cociente de polinomios, resolvemos las integrales de dichas fracciones. En este tipo de integral racional obtendremos logaritmos neperianos y potencias de binomios.

Integrales racionales reales múltiples 6

Integrales racionales reales múltiples 7

Integrales racionales reales múltiples 8

Hemos obtenido como solución de la integral racional:

Integrales racionales reales múltiples 9

<< Integrales racionales de raíces reales simplesIntegrales racionales de raíces complejas simples >>
Taller de Integrales

Taller de Integrales

Aprende a integrar con más de 100 integrales resueltas con todo detalle.

You have Successfully Subscribed!

Pin It on Pinterest

Shares
Share This

Compártelo

Comparte el contenido en tus perfiles sociales. A tus amigos también les puede interesar. Gracias.