Artículo 8 de 9 en la serie Integrales indefinidas

En este artículo llegamos a un nuevo ejercicio de integrales racionales mediante el que os voy a desarrollar el caso 3 que ya os describí en este otro artículo. El caso 3 es aquel que trata la integración de cociente de polinomios con raíces complejas simples en el denominador.

La integral racional a resolver es la siguiente: Integrales racionales complejas simples

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Primer paso: División de la fracción

Al tratarse de una integral racional con el grado del numerador menor que el del denominador seguiremos la resolución en el segundo paso.

Segundo paso: Descomponer el denominador

Descomponemos por Ruffini el polinomio denominador encontrando 1 raíz real de exponente 1, y 2 raíces complejas conjugadas de exponente 1 también cada una de ellas. Con este tipo de descomposición estamos ante una integral racional del caso 3.

El polinomio denominador puede descomponerse en:

Integrales racionales complejas simples 1

En estos casos, los binomios con raíces complejas conjugadas podemos agruparlos en un polinomio de segundo grado de la forma:

Integrales racionales complejas simples 2

Donde alfa (α) y beta (β) son respectivamente la parte real e imaginaria de las raíces complejas conjugadas del polinomio ax2+bx+c, (Integrales racionales complejas simples 3).

En nuestro caso:

Integrales racionales complejas simples 4

Tercer paso: Descomponer en fracciones simples el cociente de polinomios

Descomponemos en fracciones simples el cociente de polinomios de la integral racional. Para ello planteamos la suma de fracciones donde para las raíces reales aplicamos los criterios de los anteriores casos según sea, y para la fracción del polinomio de segundo grado, como numerador propondremos un polinomio de primer grado. Así pues tendremos:

Integrales racionales complejas simples 5

Para determinar las constantes A, M y N:

  1. Sumamos ambas fracciones.
    Integrales racionales complejas simples 6
  2. Igualamos los numeradores, ya que los denominadores son el mismo, y obtenemos una igualdad entre polinomios.
    Integrales racionales complejas simples 7
  3. Para encontrar A, M y N daremos 3 valores a x y resolvemos el sistema de ecuaciones resultante. Le daremos a x el valor de la raíz real y así calcular una de las constantes resulta inmediato. Las otras 2 se resolverán dando 2 valores más cualesquiera a x, y partiendo del conocimiento de la constante ya calculada resolveremos el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas obtenido.
    Integrales racionales complejas simples 8
    Del sistema de ecuaciones en M y N obtenido tenemos que:
    Constante de polinomio 1 ; Constante de polinomio 2

Cuarto paso: Resolución de la integral racional

Una vez obtenida la descomposición en fracciones simples del cociente a integrar, resolvemos las integrales de dichas fracciones. En este tipo de integral racional, las raíces complejas conjugadas aportarán a la solución expresiones de logaritmos neperianos y arcotangentes. Usaremos en la resolución de una parte de la integral un cambio de variable.

Integrales racionales complejas simples 9

Integrales racionales complejas simples 10

El cambio de variable efectuado en este último paso ha sido: x-2 = 3t con dx = 3dt. Por otra parte también tenemos la igualdad: x = 3t+2.

En la resolución de la integral racional correspondiente a la fracción de las raíces complejas conjugadas siempre realizaremos el cambio de variable x-α = βt, donde alfa (α) y beta (β) son la parte real e imaginaria respectivamente de las raíces complejas conjugadas del polinomio, es decir, (Integrales racionales complejas simples 3)

Siguiendo con la resolución de la integral racional tenemos:

Integrales racionales complejas simples 11

Integrales racionales complejas simples 12

Integrales racionales complejas simples 13

Integrales racionales complejas simples 14

Hemos obtenido como solución de la integral racional:

Integrales racionales complejas simples 15

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