En este artículo llegamos a un nuevo ejercicio de integrales racionales mediante el que os voy a desarrollar el caso 3 que ya os describí en este otro artículo. El caso 3 es aquel que trata la integración de cociente de polinomios con raíces complejas simples en el denominador.
La integral racional a resolver es la siguiente: 
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Primer paso: División de la fracción
Al tratarse de una integral racional con el grado del numerador menor que el del denominador seguiremos la resolución en el segundo paso.
Segundo paso: Descomponer el denominador
Descomponemos por Ruffini el polinomio denominador encontrando 1 raíz real de exponente 1, y 2 raíces complejas conjugadas de exponente 1 también cada una de ellas. Con este tipo de descomposición estamos ante una integral racional del caso 3.
El polinomio denominador puede descomponerse en:
En estos casos, los binomios con raíces complejas conjugadas podemos agruparlos en un polinomio de segundo grado de la forma:
Donde alfa (α) y beta (β) son respectivamente la parte real e imaginaria de las raíces complejas conjugadas del polinomio ax2+bx+c, (
).
En nuestro caso:
Tercer paso: Descomponer en fracciones simples el cociente de polinomios
Descomponemos en fracciones simples el cociente de polinomios de la integral racional. Para ello planteamos la suma de fracciones donde para las raíces reales aplicamos los criterios de los anteriores casos según sea, y para la fracción del polinomio de segundo grado, como numerador propondremos un polinomio de primer grado. Así pues tendremos:
Para determinar las constantes A, M y N:
- Sumamos ambas fracciones.
- Igualamos los numeradores, ya que los denominadores son el mismo, y obtenemos una igualdad entre polinomios.
- Para encontrar A, M y N daremos 3 valores a x y resolvemos el sistema de ecuaciones resultante. Le daremos a x el valor de la raíz real y así calcular una de las constantes resulta inmediato. Las otras 2 se resolverán dando 2 valores más cualesquiera a x, y partiendo del conocimiento de la constante ya calculada resolveremos el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas obtenido.
Del sistema de ecuaciones en M y N obtenido tenemos que:
; 
Cuarto paso: Resolución de la integral racional
Una vez obtenida la descomposición en fracciones simples del cociente a integrar, resolvemos las integrales de dichas fracciones. En este tipo de integral racional, las raíces complejas conjugadas aportarán a la solución expresiones de logaritmos neperianos y arcotangentes. Usaremos en la resolución de una parte de la integral un cambio de variable.
El cambio de variable efectuado en este último paso ha sido: x-2 = 3t con dx = 3dt. Por otra parte también tenemos la igualdad: x = 3t+2.
)Siguiendo con la resolución de la integral racional tenemos:
Hemos obtenido como solución de la integral racional:
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