Artículo 9 de 9 en la serie Integrales indefinidas

En este artículo os quiero desarrollar un nuevo ejercicio de integrales racionales del caso 4 que ya os indicaba en este otro artículo. El caso 4 es aquel que trata la integración de cociente de polinomios con raíces complejas múltiples en el denominador.

La integral racional a resolver es la siguiente: Integrales racionales complejas múltiples

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Primer paso: División de la fracción

Al tratarse de una integral racional con el grado del numerador menor que el del denominador seguiremos la resolución en el segundo paso.

Segundo paso: Descomponer el denominador

Descomponemos el polinomio denominador encontrando 2 raíces complejas conjugadas de exponente 2 cada una de ellas. Con este tipo de descomposición estamos ante una integral racional del caso 4.

La base del polinomio denominador puede descomponerse en:

Integrales racionales complejas múltiples 1

En estos casos, los binomios con raíces complejas conjugadas podemos agruparlos en un polinomio de segundo grado de la forma:

Integrales racionales raíces complejas múltiples 1

Donde alfa (α) y beta (β) son respectivamente la parte real e imaginaria de las raíces complejas conjugadas del polinomio ax2+bx+c, (Integrales racionales raíces complejas múltiples 2).

En nuestro caso:

Integrales racionales complejas múltiples 2

Tercer paso: Descomponer en fracciones simples el cociente de polinomios

El cociente de polinomios ya viene dado como fracción simple con lo que procedemos a realizar la integral.

Cuarto paso: Resolución de la integral racional

Realizamos la integral. En la resolución usaremos un cambio de variable y también una integración por partes.

Integrales racionales complejas múltiples 3

El cambio de variable efectuado en el paso (1) ha sido: x-1 = t con dx = dt. Por otra parte también tenemos la igualdad: x = t+1.

En la resolución de la integral racional correspondiente a la fracción de las raíces complejas conjugadas siempre realizaremos el cambio de variable x-α = βt, donde alfa (α) y beta (β) son la parte real e imaginaria respectivamente de las raíces complejas conjugadas del polinomio, es decir, (Integrales racionales complejas simples 3)

Siguiendo con la resolución de la integral racional tenemos:

Integrales racionales complejas múltiples 4

Integrales racionales complejas múltiples 5

La integración por partes efectuada en el paso (2) ha sido:

Integrales racionales complejas múltiples 6 , donde: Integrales racionales complejas múltiples 7

Siguiendo con la resolución de la integral racional tenemos:

Integrales racionales complejas múltiples 8

Integrales racionales complejas múltiples 9

Hemos obtenido como solución de la integral racional:

Integrales racionales complejas múltiples 10

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