Sabemos qué representa conceptualmente la derivada de una función en un punto y cómo calcularla. La pregunta que nos hacemos ahora es: ¿tiene el cálculo de la derivada de una función algún significado geométrico respecto a la propia función? La respuesta es que sí. Veamos cuál.
Nos planteamos trazar la recta secante a una función en dos puntos de la misma (x0,y0) y (x1,y1). Gráficamente tenemos:
Si para obtener la ecuación de la recta s utilizamos la forma punto-pendiente de una recta. Es decir:
y – y0 = m.(x – x0)
Donde:
- (x0,y0): son las coordenadas cartesianas de un punto de la recta. Que en nuestro caso es uno de los de la función.
- m es la inclinación o pendiente de la recta. Podemos calcularla como:
Con estos datos ya somos capaces de obtener la ecuación analítica de dicha recta.
Ahora bien, si nos planteamos acercar el punto (x1,y1) al punto (x0,y0), la recta secante s se convertirá en el límite en la recta r tangente a la función f(x) en el punto (x0,y0). Gráficamente tendríamos:
Para obtener la ecuación de la recta r utilizaremos de nuevo la ecuación punto-pendiente de una recta. En este caso, el punto por donde pasa la recta buscada es el mismo (x0,y0). Pero la pregunta surge cuando buscamos la pendiente m, ¿cómo la calcularíamos ahora? Tengamos en cuenta que el punto (x1,y1) se ha acercado al punto (x0,y0) de forma que en realidad son el mismo, con lo que el cálculo efectuado para obtener la pendiente de s no podemos realizarlo.
Lo que hacemos para evaluar la pendiente es considerar que el punto (x1,y1) no es todavía el (x0,y0) y en realidad es uno muy próximo haciendo x1 = x0 + h donde h tienda a 0, es decir, (x1,y1) = (x0 + h,f(x0 + h)) donde el parámetro h marca la separación entre x0 y x1. En este caso, la pendiente aproximada para la recta r es:
Para evaluar la pendiente exacta de r, podemos resolver el límite de la expresión anterior cuando h tiende a 0, y tendremos:
Si observamos bien lo obtenido como pendiente de r vemos que ha resultado ser la derivada de f(x) en el punto x0, que es el punto donde la recta es tangente a la función. Esto es:
Por lo tanto, como conclusión del significado geométrico de la derivada de una función tenemos:
Te muestro lo aprendido sobre el significado geométrico de la derivada en este video
Aprende a derivar con más de 100 derivadas resueltas
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