Artículo 1 de 1 en la serie Ejercicios de funciones de varias variables

Si has llegado a este artículo directamente y antes quieres repasar los conceptos teóricos sobre dominios de funciones de varias variables, puedes leer este otro artículo mío donde te lo explico.

Si la teoría ya la tienes asumida, o vienes precisamente de ese artículo, aquí tienes una serie de ejercicios sobre cálculo de dominios de funciones de varias variables con la solución detallada.

Enunciado

Calcula y representa el dominio de la siguiente función de varias variables: Cálculo de dominios de funciones de varias variables 1.

Solución

Para calcular el dominio de la función analizaremos las diferentes operaciones que implican la definición de la expresión de nuestra función.

#1. Respecto al cociente

Los puntos que no pertenecen al dominio de la función son aquellos que anulan el denominador. En nuestro caso sólo tenemos el origen de coordenadas. Por lo tanto, una primera conclusión es:

Cálculo de dominios de funciones de varias variables 1-1

#2. Respecto a la raíz cuadrada

Los puntos que pertenecen al dominio de la función son aquellos para los cuales el argumento de la raíz es positivo.

  1. Para las raíces interiores, es obvio que sus argumentos son positivos en todos los puntos (x,y).
  2. Para la raíz exterior, su argumento es un cociente con denominador que siempre es mayor o igual que cero, por lo tanto el signo lo proporciona el numerador. Tenemos que analizar los puntos del plano XY que cumplen:

Cálculo de dominios de funciones de varias variables 1-2

Excluyendo obviamente el punto (0,0). Para ello miramos qué puntos cumplen la igualdad:

Cálculo de dominios de funciones de varias variables 1-3

Los puntos del plano XY que cumplen la igualdad son las bisectrices del primer-tercer cuadrante, y la del segundo-cuarto cuadrante. Para comprobar la desigualdad ensayamos puntos de cada uno de las 4 regiones en las que se divide el plano XY mediante las curvas obtenidas.

  • Punto (1,0): Cálculo de dominios de funciones de varias variables 1-4. Como es falso, la región de Cálculo de dominios de funciones de varias variables 1-5.
  • Punto (-1,0): Cálculo de dominios de funciones de varias variables 1-6. Como es falso, la región de Cálculo de dominios de funciones de varias variables 1-7.
  • Punto (0,1): Cálculo de dominios de funciones de varias variables 1-8. Como es cierto, la región de Cálculo de dominios de funciones de varias variables 1-9.
  • Punto (0,-1): Cálculo de dominios de funciones de varias variables 1-10. Como es cierto, la región de Cálculo de dominios de funciones de varias variables 1-11.

Gráficamente, en sombreado se representa el Dominio de f(x,y).

Cálculo de dominios de funciones de varias variables 1-12

Dominio de f(x,y)

Por lo tanto podemos dar como dominio de la función de varias variables el siguiente:

Dom f(x,y)={(x,y) ∈ R2 | (y ≥ x ∧ y ≥ -x) ∨ (y ≤ x ∧ y ≤ -x)} – {(0,0)}

Enunciado

Calcula y representa el dominio de la siguiente función de varias variables: Cálculo de dominios de funciones de varias variables 2.

Solución

Para calcular el dominio de la función analizaremos las diferentes operaciones que implican la definición de la expresión de nuestra función.

#1. Respecto a la raíz cuadrada

Los puntos que pertenecen al dominio de la función son aquellos para los cuales el argumento de la raíz es positivo.

Al tratarse de una función coseno, sabemos que su valor está entre -1 y 1 ambos inclusive, con lo que para poder evaluar la raíz cuadrada nos quedaremos con los puntos del plano XY que cumplen:

Cálculo de dominios de funciones de varias variables 2-1

Para ello miramos qué puntos cumplen las igualdades:

Cálculo de dominios de funciones de varias variables 2-2

Teniendo encuenta la circunferencia trigonométrica, los puntos del plano XY que cumplen las desigualdades son:

  • En la primera vuelta positiva:Cálculo de dominios de funciones de varias variables 2-3
  • En la segunda vuelta positiva:Cálculo de dominios de funciones de varias variables 2-4
  • En la tercera vuelta positiva:Cálculo de dominios de funciones de varias variables 2-5

Y así sucesivamente.

Gráficamente, en sombreado se representa el Dominio de f(x,y).

Cálculo de dominios de funciones de varias variables 2-6

Dominio de f(x,y)

Por lo tanto podemos dar como dominio de la función de varias variables el siguiente:

Dom f(x,y)={(x,y) ∈ R2 | 0 ≤ x2+y2 ≤ π/2} ∪ {(x,y) ∈ R2 | ((4n-1)π)/2 ≤ x2+y2 ≤ ((4n+1)π)/2} Donde: n ∈ N-{0}
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