Integral indefinida y concepto de primitiva

Decimos que una función F(x) es la integral indefinida de la función f(x) si se cumple que:

F’(x) = f(x)

Es decir, la derivada de F(x) nos da como resultado f(x). Por lo tanto decimos que derivada e integral son operaciones inversas. A la integral indefinida también se le conoce como primitiva de la función f(x). Por ejemplo:

•  es la integral indefinida o primitiva de ya que F’(x) = f(x)
• es la integral indefinida o primitiva de  ya que F’(x) = f(x)

Observar también que:

•  también es una primitiva de  ya que F’(x) = f(x)
•  también es una primitiva de  ya que F’(x) = f(x)

Es decir, añadir una constante a la primitiva no modifica la función de quién es primitiva, puesto que a la hora de derivar, la constante desaparece. Esto nos lleva a definir el concepto de integral indefinida, entendiendo como tal e indicándola así:

Propiedades de la integral indefinida

1. Integral de la suma de funciones: 
2. Integral de una constante por una función: 
3. Regla de la cadena en la integral indefinida: Si  , entonces 

Debido a la importancia de esta última propiedad veamos un ejemplo.

Sabiendo que  , entonces .

Os lo explico. Siendo el argumento del coseno la función x³, al tener su derivada 3x² como factor en la integral, podemos aplicar la regla directa de la integral del coseno, pero manteniendo el argumento de x³.

En general, para calcular integrales indefinidas seguiremos estos pasos:

1. Partiremos de la tabla de integrales inmediatas, que se deduce a su vez de la tabla de derivadas directas, pero reflejando el proceso inverso.
2. Si no podemos aplicar alguna de las integrales de las de la tabla de inmediatas, procederemos a usar alguna de las 3 propiedades anteriores para transforma nuestra integral en alguna de las de la tabla, y resolverla.
3. Si mediante las propiedades descritas no podemos resolver la integral, habrá que aplicar alguno de los métodos de integración que se presentarán. Estos métodos son:
   • Integración por partes.
   • Integración por cambio de variable.
   • Integración racional.

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