Integrales inmediatas

En este artículo os voy a presentar con ejemplos resueltos las diferentes integrales inmediatas que componen la tabla de integrales.

Integral inmediata de la potencia

• En versión de integral inmediata:  con n ≠ -1
• En versión de regla de la cadena:  con n ≠ -1

Ejercicio 1

1. 
   Sacamos la constante fuera de la integral y aplicamos la regla.
2. 
   Al disponer la derivada del seno en el interior de la integral, se aplica la versión de integral inmediata de la potencia con regla de la cadena.

Integral inmediata de la inversa de x

• En versión integral inmediata: 
• En versión de regla de la cadena: 

Ejercicio 2

1. 
   Sacamos la constante fuera de la integral y aplicamos la regla.
2. 
   Al disponer la derivada del denominador en el interior de la integral, se aplica la versión de integral inmediata con regla de la cadena.
3. 
   En este caso para disponer de la derivada del denominador sólo nos falta el factor 2 por lo tanto lo introducimos en la integral, y fuera de ella multiplicamos por su inversa para no modificar la expresión. Entonces al disponer de la derivada del denominador ya podemos aplicar la integral inmediata con regla de la cadena.

Integral inmediata de la exponencial

• En versión de integral inmediata: . Si a = e entonces: 
• En versión de regla de la cadena: . Si a = e: 

Ejercicio 3

1. 
   He aplicado directamente la regla de integración.
2. 
   Para disponer de la derivada del exponente nos falta el factor 2 en el interior de la integral. Lo introducimos y al mismo tiempo multiplicamos fuera de la integral por su factor inverso, y ya podemos aplicar la integral inmediata con regla de la cadena.

Integral inmediata del seno

• En versión de integral inmediata: 
• En versión de regla de la cadena: 

Ejercicio 4

1. 
   Separo la integral en suma de dos integrales. Posteriormente se resuelvo cada una de ellas aplicando la regla de integrales inmediatas para potencia y seno.
2. 
   Para disponer de la derivada del argumento del seno nos falta el factor 3 en el interior de la integral. Lo introducimos y al mismo tiempo multiplicamos fuera de la integral por su factor inverso, y ya podemos aplicar la integral inmediata con regla de la cadena.

Integral inmediata del coseno

• En versión de integral inmediata: 
• En versión de regla de la cadena: 

Ejercicio 5

1. 
   Al tener en la integral la derivada del argumento del coseno aplico la integral inmediata con regla de la cadena.
2. 
   En este caso sólo nos falta el factor 2, que lo introducimos y lo compensamos multiplicando fuera de la integral por su inverso.

Integral inmediata de resultado tangente

• En versión de integral inmediata: 
• En versión de regla de la cadena: 

Ejercicio 6

1. 
   Al tener en la integral la derivada de logaritmo neperiano aplico la integral inmediata con regla de la cadena.
2. 
   Para tener la derivada del argumento de la tangente nos falta el factor 3 en el interior de la integral. Lo introducimos y al mismo tiempo multiplicamos fuera de la integral por su factor inverso, y ya podemos aplicar la integral inmediata con regla de la cadena.

Integral inmediata de resultado menos cotangente

• En versión de integral inmediata: 
• En versión de regla de la cadena: 

Ejercicio 7

1. 
   He aplicado la regla de integración al tener en la integral la derivada del argumento del seno.
2. 
   Para tener la derivada del argumento de la cotangente nos falta el factor (-1) en el interior de la integral. Lo introducimos y al mismo tiempo multiplicamos fuera de la integral por su factor inverso, y ya podemos aplicar la integral inmediata con regla de la cadena.

Integral inmediata de resultado arcoseno

• En versión de integral inmediata: 
• En versión de regla de la cadena: 

Ejercicio 8

1. 
   He ido realizando transformaciones hasta poder aplicar la integral inmediata pero en versión regla de la cadena.
2. 
   Igual que en el ejemplo anterior he transformado la integral.

Analizando las transformaciones realizadas en los 2 casos podemos generalizar la regla y proponer la siguiente integral inmediata con resultado arcoseno:

 , o también, 

Integral inmediata de resultado arcotangente

• En versión de integral inmediata: 
• En versión de regla de la cadena: 

Ejercicio 9

1. 
   He aplicado la integral inmediata ya que tenemos la derivada del seno en el interior de la integral.
2. 
   
   He aplicado transformaciones similares a las del caso 2 del ejercicio 8.

Igual que con el arcoseno, podemos generalizar la regla y proponer la siguiente integral inmediata con resultado arcotangente:

 , o también, 

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