Artículo 8 de 8 en la serie Funciones de varias variables

En el artículo anterior os mostré que el cálculo de límites por coordenadas polares podía ser no concluyente según estuviera acotada o no la expresión G(θ) para todo valor de θ∈[0,2π] en la obtención del límite final cuando r tiende a 0.

En este artículo os resuelvo un caso donde G(θ) no está acotada para algún θ∈[0,2π] y cómo calcular en esa situación el límite de la función.

Ejemplo 9: Calcular mediante el cambio a coordenadas polares el límite Cálculo de límites por coordenadas polares donde Cálculo de límites por coordenadas polares. Función de ejemplo 9

Resolvemos el límite aplicando el cambio de las variables cartesianas (x,y) a las variables en coordenadas polares (r,θ).

Cálculo de límites por coordenadas polares. Solución ejemplo 9

En este caso el resultado del límite obtenido por coordenadas polares no es válido para aquellos valores de θ que provoquen que cos(2θ)=0, ya que en esos casos la expresión Cálculo de límites por coordenadas polares. Función no acotada no está acotada y el cálculo de la última expresión presenta una indeterminación.

Estudiemos aparte esos valores: Cálculo de límites por coordenadas polares. Ángulo de función no acotada.

Que representa el acercamiento mediante la recta y=x correspondiente a la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Hagamos el cálculo mediante el límite por la recta indicada.

Cálculo de límites por coordenadas polares. Solución de la indeterminación

Al haber encontrado una trayectoria concreta en el que el cálculo del límite no es posible, aún siendo 0 para las restantes, diremos que Cálculo de límites por coordenadas polares no existe.

Si observamos la gráfica de la función, podemos observar el comportamiento de la misma en el punto (0,0).

Función del ejemplo 9

Gráfica de la función del ejemplo 9. Límite por coordenadas polares

Según lo visto en los último artículos os resumo…

Cómo proceder para calcular límites de funciones de varias variables

A la hora de calcular el límite de una función Notación de límite de función de dos variables seguiremos el siguiente protocolo:

  1. Si la función se define mediante una única expresión, evaluaremos la función en (x0,y0) tal y como se ha procedido en el ejemplo 6.
  2. Si la función está definida por zonas del plano R2 a trozos y es uno de los puntos definidos mediante asignación directa, o no pertenece al dominio de ninguna de las expresiones, usaremos el cambio a coordenadas polares. Aún así, el uso del cambio a polares puede no ser concluyente. Si tras realizar el cambio, la expresión final incorpora G(θ)
    • Acotada, entonces sí podremos decir que el método es concluyente.
    • No acotada, entonces se deberá proceder al cálculo del límite mediante la trayectoria concreta que no acota a G(θ).
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