Artículo 7 de 8 en la serie Funciones de varias variables

El cálculo de límites por coordenadas polares consiste en aplicar a las variables x e y las ecuaciones de equivalencia entre la representación mediante coordenadas cartesianas y polares, según la gráfica:

Cálculo de límites por coordenadas polares

Coordenadas cartesianas y polares

Posteriormente, definimos el acercamiento al punto (0,0) mediante la resolución del límite en la variable r:

Límites por coordenadas polares

Al dejar la variable angular θ sin tratamiento en el cálculo, se contemplan todas las trayectorias posibles de acercamiento. Vamos a verlo en el cálculo del límite del siguiente ejemplo:

Ejemplo 8: Calcular mediante el cambio a coordenadas polares el límite Cálculo de límites por coordenadas polares donde Cálculo de límites por coordenadas polares

Resolvemos el límite aplicando el cambio de las variables cartesianas (x,y) a las variables en coordenadas polares (r,θ).

Cálculo de límites por coordenadas polares

Ahora ya podemos decir que Cálculo de límites por coordenadas polares vale 0.

No obstante, el procedimiento descrito para el cálculo de límites por coordenadas polares puede no ser concluyente.

Efectivamente, podemos afirmar que el límite es 0 puesto que en la expresión final de cálculo, la parte de la expresión definida como G(θ)=cos2θ·sinθ está acotada para todo valor de θ∈[0,2π]. De existir algún valor de θ para el que G(θ) no estuviera acotada, el resultado proporcionado por el método del cambio a coordenadas polares no sería válido para la trayectoria rectilínea correspondiente a la dirección de ese caso particular de θ, y deberíamos realizar el cálculo de forma exclusiva, por ejemplo mediante el límite por rectas particularizando la recta correspondiente a la de la pendiente del ángulo θ.

En el próximo artículo resolveré un caso práctico que muestre una situación en donde G(θ) no está acotada.

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