Artículo 6 de 8 en la serie Funciones de varias variables

Vamos a presentar el cálculo de los límites por parábolas para el caso del límite de una función de varias variables, como una de las diferentes trayectorias de acercamiento al punto del límite.

Nos basaremos en la función del ejemplo 7.

Observemos que la función f(x,y) se define mediante 2 zonas del plano R2. En este caso no podemos dar como límite el valor de f(0,0), puesto que la expresión para el acercamiento al punto (0,0) es diferente a la de evaluar f(0,0). Evaluaremos el límite presentando la técnica por la trayectoria de los límites por parábolas.

Se plantea el acercamiento mediante la ecuación de una recta que une el punto genérico (x,y) con el punto (0,0). En este caso se tratará de una parábola de ecuación y=ax2. Posteriormente se sustituye la variable y del límite por su expresión equivalente de la parábola quedándonos un límite de una variable.

Gráficamente tenemos:

Límites en varias variables. Límites por parábolas

Gráfica de los límites por parábolas

Límites en varias variables. Límites por parábolas

Al ser coincidente el resultado con el obtenido en los límites parciales y por rectas, de momento sólo podemos afirmar que si el límite existe valdrá 0, pero no podemos afirmar que 0 es el límite puesto que de las infinitas trayectorias posibles sólo hemos estudiado 4 concretas.
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