En este artículo os quiero desarrollar un nuevo ejercicio de integrales racionales del caso 4 que ya os indicaba en este otro artículo. El caso 4 es aquel que trata la integración de cociente de polinomios con raíces complejas múltiples en el denominador.
La integral racional a resolver es la siguiente: 
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Primer paso: División de la fracción
Al tratarse de una integral racional con el grado del numerador menor que el del denominador seguiremos la resolución en el segundo paso.
Segundo paso: Descomponer el denominador
Descomponemos el polinomio denominador encontrando 2 raíces complejas conjugadas de exponente 2 cada una de ellas. Con este tipo de descomposición estamos ante una integral racional del caso 4.
La base del polinomio denominador puede descomponerse en:
En estos casos, los binomios con raíces complejas conjugadas podemos agruparlos en un polinomio de segundo grado de la forma:
Donde alfa (α) y beta (β) son respectivamente la parte real e imaginaria de las raíces complejas conjugadas del polinomio ax2+bx+c, (
En nuestro caso:
Tercer paso: Descomponer en fracciones simples el cociente de polinomios
El cociente de polinomios ya viene dado como fracción simple con lo que procedemos a realizar la integral.
Cuarto paso: Resolución de la integral racional
Realizamos la integral. En la resolución usaremos un cambio de variable y también una integración por partes.
El cambio de variable efectuado en el paso (1) ha sido: x-1 = t con dx = dt. Por otra parte también tenemos la igualdad: x = t+1.
Siguiendo con la resolución de la integral racional tenemos:
La integración por partes efectuada en el paso (2) ha sido:
Siguiendo con la resolución de la integral racional tenemos:
Hemos obtenido como solución de la integral racional:
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