Artículo 6 de 9 en la serie Aprender a derivar

En el artículo anterior de la serie Aprender a derivar llegamos a derivar funciones que tenían ya una cierta complejidad. No obstante todavía podemos encontrarnos con funciones más complicadas si se han definido mediante la composición de funciones. Para derivar este tipo de funciones realizaremos la derivada con la regla de la cadena. Empecemos por presentarla.

Regla de la cadena

Sabemos que la composición de funciones consiste en definir funciones cuyas variables son a su vez otras funciones. En ocasiones utilizo con mis alumnos la expresión “funciones dentro de funciones” para describir esta operación. Para obtener la derivada con la regla de la cadena en el caso de la composición por ejemplo de dos funciones, tenemos que aplicar la regla de derivación a la función “exterior“, o sea la aplicamos a la que “engloba“, y luego multiplicar por la derivada de la función “interior“, es decir la que “es englobada“.

En resumen, la composición de dos funciones Composición de funciones se derivará mediante la regla de la cadena y nos dará Derivada con la regla de la cadena.

Esto se puede generalizar para el caso de la composición de tres, cuatro y más funciones. Luego os lo enseño en algún ejemplo.

Tabla de derivadas con la regla de la cadena

Podemos aplicar la regla de la cadena a todas las funciones que hemos ido describiendo en los artículos de la serie Aprender a derivar, considerando que cada una de ellas tiene como variable otra función f(x) en lugar de x. Os muestro en la siguiente tabla cómo quedarían las derivadas con la regla de la cadena.

Función Derivada
Composición de la función potencia Derivada con la regla de la cadena de la función potencia
Composición de la función exponencial
Si tenemos: Composición de la función exponencial e
Derivada con la regla de la cadena de la función exponencial
Derivada con la regla de la cadena de la función exponencial e
Composición de la función logaritmo
Si tenemos: Composición de la función logaritmo neperiano
Derivada con la regla de la cadena de la función logaritmo
Derivada con la regla de la cadena de la función logaritmo neperiano
 Composición de la función seno  Derivada con la regla de la cadena de la función seno
 Composición de la función coseno  Derivada con la regla de la cadena de la función coseno
 Composición de la función tangente Derivada con la regla de la cadena de la función tangente
Composición de la función cotangente Derivada con la regla de la cadena de la función cotangente
 Composición de la función arcoseno Derivada con la regla de la cadena de la función arcoseno
 Composición de la función arcocoseno  Derivada con la regla de la cadena de la función arcocoseno
 Composición de la función arcotangente  Derivada con la regla de la cadena de la función arcotangente
 Composición de la función arcocotangente  Derivada con la regla de la cadena de la función arcocotangente

Finalmente, aprender a derivar con la regla de la cadena

Ahora nos queda practicar lo aprendido y derivar con la regla de la cadena cualquier función que nos encontremos.

Os enseño unos ejemplos:

  1. Ejercicio con regla de la cadena 1
    Resolución:
    Derivada con la regla la cadena 1
  2. Ejercicio con regla de la cadena 2
    Resolución:
    Derivada con la regla de la cadena 2
  3. Ejercicio con regla de la cadena 3
    Resolución. Como os decía un poco más arriba, os presento un ejemplo de regla de la cadena en una composición de 3 funciones:
    Derivada con la regla de la cadena 3-i
    Derivada con la regla de la cadena-3-ii
  4. Ejercicio con regla de la cadena 4
    Resolución:
    Derivada con la regla de la cadena 4

Ahora toca practicar con más ejercicios de derivadas

Si quieres practicar aquí tienes otro artículo mío con un video muy interesante y la siguiente: Lista de ejercicios propuestos de derivadas.
<< Aprender a derivar producto y cociente de funcionesDerivada implícita >>
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