Derivada con la regla de la cadena

Artículo [part not set] de 9 en la serie Aprender a derivar

En el artículo anterior de la serie Aprender a derivar llegamos a derivar funciones que tenían ya una cierta complejidad. No obstante todavía podemos encontrarnos con funciones más complicadas si se han definido mediante la composición de funciones. Para derivar este tipo de funciones realizaremos la derivada con la regla de la cadena. Empecemos por presentarla.

Regla de la cadena

Sabemos que la composición de funciones consiste en definir funciones cuyas variables son a su vez otras funciones. En ocasiones utilizo con mis alumnos la expresión «funciones dentro de funciones» para describir esta operación. Para obtener la derivada con la regla de la cadena en el caso de la composición por ejemplo de dos funciones, tenemos que aplicar la regla de derivación a la función «exterior«, o sea la aplicamos a la que «engloba«, y luego multiplicar por la derivada de la función «interior«, es decir la que «es englobada«.

En resumen, la composición de dos funciones se derivará mediante la regla de la cadena y nos dará .

Esto se puede generalizar para el caso de la composición de tres, cuatro y más funciones. Luego os lo enseño en algún ejemplo.

Tabla de derivadas con la regla de la cadena

Podemos aplicar la regla de la cadena a todas las funciones que hemos ido describiendo en los artículos de la serie Aprender a derivar, considerando que cada una de ellas tiene como variable otra función f(x) en lugar de x. Os muestro en la siguiente tabla cómo quedarían las derivadas con la regla de la cadena.

Función	Derivada

Si tenemos:
Si tenemos:

Finalmente, aprender a derivar con la regla de la cadena

Ahora nos queda practicar lo aprendido y derivar con la regla de la cadena cualquier función que nos encontremos.

Os enseño unos ejemplos:

Resolución:
Resolución:
Resolución. Como os decía un poco más arriba, os presento un ejemplo de regla de la cadena en una composición de 3 funciones:
Resolución: