Artículo 9 de 9 en la serie Aprender a derivar

En este artículo os voy a explicar un caso especial de la derivada de logaritmo donde la función viene definida como un logaritmo en el que tanto la base como el argumento son variables. Es decir:

Función logaritmo

Para derivar la función podríamos pensar que tenemos que aplicar la regla que aprendimos en el artículo para derivar logaritmos, pero no es así ya que esa regla parte de que la base del logaritmo sea una constante y en nuestro caso no se cumple esa condición.

Derivar el logaritmo con base variable

Para derivar la función logaritmo cuya base y argumento son variables seguiremos la regla por la cual el resultado de la derivada es el siguiente cociente:

Derivada de logaritmo

Ahora bien, si no quieres tener que memorizar esta regla existe la opción de deducirla en cada caso. Te detallo los pasos del procedimiento:

  1. Transformamos la función logaritmo a expresión exponencial.
  2. Aplicamos logaritmos a ambos lados de la igualdad.
  3. Por propiedades de logaritmos, en el logaritmo de la potencia el exponente pasa a ser un factor multiplicativo.
  4. Despejamos la y de la expresión y nos queda definida como un cociente de logaritmos neperianos de funciones.
  5. Derivamos y aplicando la regla de derivación del cociente, y arreglando la expresión ya lo tenemos.

El desarrollo de la deducción es:

Derivada de la función logaritmo 1

Derivada de la función logaritmo 2

Derivada de la función logaritmo 3

Finalmente, aprender a derivar la función logaritmo con base variable

Veamos un ejercicio resuelto de derivada de la función logaritmo con la base variable.

  1. Función logaritmo 1
    Resolución:
    Derivada de logaritmo 1Derivada de logaritmo 2

Ahora toca practicar con más ejercicios de derivadas

Si quieres practicar con más ejercicios, aquí tienes la siguiente lista de ejercicios propuestos de derivadas.
<< Derivada potencial exponencial
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