Artículo 8 de 9 en la serie Aprender a derivar

En este artículo os voy a explicar un caso especial de la derivada potencial, o de la derivada exponencial, según se mire. De hecho, el caso a tratar es el de la derivada potencial exponencial, donde la función viene definida como una potencia pero en la que tanto la base como el exponente son variables. Es decir:

Función potencial exponencial

Es fácil pensar que para derivar la función anterior debemos aplicar una combinación de las reglas que vimos para derivar potencias y para derivar exponenciales, pero no. Lo cierto es que tiene su propia regla.

Derivar la función potencial exponencial

Para derivar la función potencial exponencial seguiremos la regla por la cual el resultado de la derivada es la propia función potencial exponencial multiplicada por una expresión que resulta de sumar la derivada del exponente por el logaritmo neperiano de la base más el exponente por el cociente de la derivada de la base entre la propia base. Es decir:

Derivada de la función potencial exponencial

Ahora bien, si no quieres tener que memorizar esta regla existe la opción de deducirla en cada caso. Te detallo los pasos del procedimiento:

  1. Aplicamos logaritmos a ambos lados de la igualdad.
  2. Por propiedades de logaritmos, el exponente pasa a ser un factor multiplicativo del logaritmo.
  3. Derivamos ambos lados de la expresión teniendo en cuenta que debemos aplicar la regla de la cadena incluso al derivar y.
  4. Finalmente despejamos la derivada de y sustituyendo la y por la expresión inicial de la función potencial exponencial.

El desarrollo de la deducción es:
Derivada de la función potencial exponencial 1

Derivada de la función potencial exponencial 2

Derivada de la función potencial exponencial 3

Finalmente, aprender a derivar la función potencial exponencial

Veamos un ejercicio resuelto de derivada de la función potencial exponencial.

  1. Función potencial exponencial 1
    Resolución:
    Derivada potencial exponencial 1

Ahora toca practicar con más ejercicios de derivadas

Si quieres practicar con más ejercicios, aquí tienes la siguiente lista de ejercicios propuestos de derivadas.
<< Derivada implícitaDerivada de logaritmo >>

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