Artículo 17 de 21 en la serie Funciones reales

Un campo muy importante en matemáticas es el de la aproximación de funciones. Una de las herramientas utilizadas para ello es el llamado polinomio de Taylor, que consiste en que dada una función f(x) se propone la expresión de un polinomio que sustituya a la propia función f(x). Dado que ambas funciones no son realmente la misma en la aproximación se comete un cierto error. La validez de dicha aproximación dependerá del error cometido. Siempre que el entorno de trabajo nos determine que el error cometido en dicha sustitución es aceptable, la aproximación la consideraremos como válida.

Existen diversas técnicas de aproximación de funciones. En este capítulo abordamos la creación del polinomio de Taylor.

Taylor propuso aproximar una función mediante un polinomio y que la aproximación fuera en un punto fijado de la función, tal y como se muestra en la figura siguiente:

Gráfica de la aproximación de una función mediante el polinomio de Taylor

Gráfica de la aproximación de una función mediante el polinomio de Taylor

 

Veamos algunos aspectos de la aproximación de Taylor:

  1. La aproximación es local, es decir, se realiza alrededor de un punto concreto que en la gráfica es x0.
  2. En el punto x0 la función y el polinomio que la aproxima coinciden. También coinciden todas las derivadas de ambos hasta orden n (que es el grado del polinomio) en el mismo punto.
  3. En un punto cualquiera que no sea x0, por ejemplo el mostrado en la gráfica como a, al usar el polinomio en lugar de la función se comete un error.

Ahora bien:

¿Cómo se obtiene la expresión del polinomio de Taylor?

La fórmula de cálculo es:

Fórmula del polinomio de Taylor

También podemos decir que cualquier función que sea n-derivable en un punto x0, puede aproximarse mediante:

Aproximación de una función por su polinomio de Taylor

En los próximos artículos veremos cómo aplicar la anterior fórmula y obtener las aproximaciones mediante el polinomio de Taylor para funciones como:

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